Interested Article - Замена вероятностной меры

Замена вероятностной меры (Change measure) - применяемая в стохастической финансовой математике процедура изменения вероятностной меры относительно которой рассматриваются случайные процессы с целью получения иных (возможно более удобных с для практических целей) формул оценки стоимости финансовых инструментов или иных их характеристик.

Замена вероятностной меры основана на теоремах Радона-Никодима , теореме Гирсанова , а также на обобщенной формуле Байеса для условных математических ожиданий.

Теория арбитражного ценообразования в первую очередь предполагает замену физической вероятностной меры на риск-нейтральную меру . Во многих случаях удобным оказывается замена последней на форвардную меру . Могут применяться также иные меры, например, своп-мера.

Чаще всего использование той или иной меры связано с тем что в соответствующей мере некоторый интересующий процесс является мартингалом, а значит наилучшей оценкой будущего ожидаемого значения (ожидаемого в этой мере) равно текущему значению процесса.

Производная Радона-Никодима и формула Байеса

В теории вероятностей вероятностная мера определяется аксиоматически, соответственно на одном и том же пространстве событий могут быть определены потенциально разные вероятностные меры. В теории меры используется понятие абсолютной непрерывности одной меры относительно другой и более сильное понятие взаимной абсолютной непрерывности мер - эквивалентность мер. Меры называются эквивалентными, если любое событие нулевой меры в одной из них имеет нулевое значение и в другой мере.

Теорема Радона-Никодима утверждает, что для таких мер существует случайная величина, с помощью которой можно перейти от одной меры к другой. Такая случайная величина Z называется и ее удобно обозначать по аналогии с обычными производными как . При таком обозначении очевидным становится равенство, которое собственно и представляет собой определение производной Радона-Никодима:

В случае именно вероятностных мер производная Радона-Никодима предполагается нормализованной в том смысле, что ее математическое ожидание в "старой" мере должно быть равно единице, так как это равно значению "новой" меры всего пространства событий, что по определению должно быть равно единице.

Отсюда несложно также видеть как связано математическое ожидание в одной мере с математическим ожиданием в другой

Можно показать, что в случае условных математических ожиданий выполнено равенство (собственно обобщенная формула Байеса)

Для случайных процессов предполагается заданным не только вероятностное пространство, но и фильтрация событий - поток сигма алгебр , "вложенных" в полную сигма-алгебру событий. В финансовой теории эти сигма-алгебры интерпретируются как "информация доступная к данному моменту". Относительно этой "информации" могут рассматриваться условные математические ожидания будущих значений случайных процессов.

Учитывая общую формулу Байеса можно записать следующую формулу

, где - так называемый процесс плотности

Формула замены эквивалентных мартингальных мер

Пусть - процесс стоимости актива, и даны два процесса и , такие что отношения и являются мартингалами соответственно в мере и (такие меры называют мартингальными). Это означает, что

и

Но поскольку текущая стоимость актива одна и та же и не зависит от меры, то отсюда получаем формулу связи условных математических ожиданий в таких мерах

Это по существу и есть формула замены мартингальных мер. Также полезно получить отсюда выражение для процесса плотности. Учитывая формулу замены меры для случайных процессов из этой формулы следует, что в данном случае для процесса плотности имеет место равенство

Отсюда следует, что процесс плотности пропорционален процессу , а поскольку процесс плотности в нулевой момент времени должен быть равен единице, то этот коэффициент пропорциональности должен быть равен обратной величине этого процесса в нулевой момент времени:

Замена меры в дифференциальном представлении процессов

При замене меры в соответствии с теоремой Гирсанова в представлении стохастического процесса в дифференциальной форме меняется дрифт - трендовая составляющая - на величину, равную взятому с обратным знаком произведению волатильности процесса на волатильность процесса плотности. То есть если исходный процесс в мере имеет вид

то в мере процесс имеет вид:

где - процесс волатильности для процесса плотности замены мер:

Примеры замены мер

Замена риск-нейтральной меры на форвардную

В риск-нейтральной мере базой стоимости (numeraire) является банковский счет , а в форвардной мере - бескупонная облигация. Согласно общей формуле замены меры имеем

Учитывая, что процесс стоимости дисконтной облигации является фактически t-измеримым случайным процессом, то его можно вынести за знак математического ожидания и тогда получаем следующую формулу

Первая формула- формула оценки в риск-нейтральной мере, вторая - в форвардной мере.

Замены между форвардными мерами различной срочности

Используя общую формулу замены мер можно записать следующую формулу при :

Если подставить в эту формулу вместо величину , получим

Следовательно

Соответственно, если внутри математического ожидания использовать замену на при необходимости, то независимо от того, или можно использовать формулу

Из этого следует общая формула оценки случайного будущего платежа в произвольной форвардной мере

И в частности, если T=S знаменатель становится равным единице и получаем классическую формулу оценки в собственной форвардной мере.

Также можно показать, что в вышеприведенную формулу также можно записать и заменив на

Замена форвардных мер на своп-меру

См. также

Источник —

Same as Замена вероятностной меры