Замена вероятностной меры (Change measure) - применяемая в стохастической финансовой математике процедура изменения вероятностной меры относительно которой рассматриваются случайные процессы с целью получения иных (возможно более удобных с для практических целей) формул оценки стоимости финансовых инструментов или иных их характеристик.

Замена вероятностной меры основана на теоремах Радона-Никодима , теореме Гирсанова , а также на обобщенной формуле Байеса для условных математических ожиданий.

Теория арбитражного ценообразования в первую очередь предполагает замену физической вероятностной меры на риск-нейтральную меру . Во многих случаях удобным оказывается замена последней на форвардную меру . Могут применяться также иные меры, например, своп-мера.

Чаще всего использование той или иной меры связано с тем что в соответствующей мере некоторый интересующий процесс является мартингалом, а значит наилучшей оценкой будущего ожидаемого значения (ожидаемого в этой мере) равно текущему значению процесса.

Производная Радона-Никодима и формула Байеса

В теории вероятностей вероятностная мера определяется аксиоматически, соответственно на одном и том же пространстве событий могут быть определены потенциально разные вероятностные меры. В теории меры используется понятие абсолютной непрерывности одной меры относительно другой и более сильное понятие взаимной абсолютной непрерывности мер - эквивалентность мер. Меры называются эквивалентными, если любое событие нулевой меры в одной из них имеет нулевое значение и в другой мере.

Теорема Радона-Никодима утверждает, что для таких мер существует случайная величина, с помощью которой можно перейти от одной меры к другой. Такая случайная величина Z называется и ее удобно обозначать по аналогии с обычными производными как ${\displaystyle {d\mathbb {Q} \over d\mathbb {P} }}$ . При таком обозначении очевидным становится равенство, которое собственно и представляет собой определение производной Радона-Никодима:

${\displaystyle \mathbb {Q} (A)=\int \limits _{A}{d\mathbb {Q} \over d\mathbb {P} }d\mathbb {P} =\int \limits _{A}Zd\mathbb {P} }$

В случае именно вероятностных мер производная Радона-Никодима предполагается нормализованной в том смысле, что ее математическое ожидание в "старой" мере должно быть равно единице, так как это равно значению "новой" меры всего пространства событий, что по определению должно быть равно единице.

Отсюда несложно также видеть как связано математическое ожидание в одной мере с математическим ожиданием в другой

${\displaystyle \mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }(X)=\int ZXd\mathbb {P} =\mathbb {E} ^{\mathbb {P} }(ZX)}$

Можно показать, что в случае условных математических ожиданий выполнено равенство (собственно обобщенная формула Байеса)

${\displaystyle \mathbb {E} _{\mathcal {F}}^{\mathbb {Q} }(X)={\mathbb {E} _{\mathcal {F}}^{\mathbb {P} }(ZX) \over \mathbb {E} _{\mathcal {F}}^{\mathbb {P} }(Z)}}$

Для случайных процессов предполагается заданным не только вероятностное пространство, но и фильтрация событий - поток сигма алгебр ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ , "вложенных" в полную сигма-алгебру событий. В финансовой теории эти сигма-алгебры интерпретируются как "информация доступная к данному моменту". Относительно этой "информации" могут рассматриваться условные математические ожидания будущих значений случайных процессов.

Учитывая общую формулу Байеса можно записать следующую формулу

${\displaystyle \mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }(X_{T})={\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }(Z_{T}X_{T}) \over z_{t}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }({Z_{T} \over z_{t}}X_{T})}$ , где ${\displaystyle z_{t}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }(Z_{T})}$ - так называемый процесс плотности

Формула замены эквивалентных мартингальных мер

Пусть ${\displaystyle V}$ - процесс стоимости актива, и даны два процесса ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , такие что отношения ${\displaystyle V/A}$ и ${\displaystyle V/B}$ являются мартингалами соответственно в мере ${\displaystyle Q^{A}}$ и ${\displaystyle Q^{B}}$ (такие меры называют мартингальными). Это означает, что

${\displaystyle {V_{t} \over A_{t}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{A}}({V_{T} \over A_{T}})}$ и ${\displaystyle {V_{t} \over B_{t}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{B}}({V_{T} \over B_{T}})}$

Но поскольку текущая стоимость актива одна и та же и не зависит от меры, то отсюда получаем формулу связи условных математических ожиданий в таких мерах

${\displaystyle \mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{A}}({V_{T} \over A_{T}})={B_{t} \over A_{t}}\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{B}}({V_{T} \over B_{T}})=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{B}}({B_{t}A_{T} \over A_{t}B_{T}}{V_{T} \over A_{T}})}$

Это по существу и есть формула замены мартингальных мер. Также полезно получить отсюда выражение для процесса плотности. Учитывая формулу замены меры для случайных процессов из этой формулы следует, что в данном случае для процесса плотности имеет место равенство

${\displaystyle {Z_{T} \over Z_{t}}={B_{t}A_{T} \over A_{t}B_{T}}={A_{T}/B_{T} \over A_{t}/B_{t}}}$

Отсюда следует, что процесс плотности ${\displaystyle Z_{t}}$ пропорционален процессу ${\displaystyle A_{t}/B_{t}}$ , а поскольку процесс плотности в нулевой момент времени должен быть равен единице, то этот коэффициент пропорциональности должен быть равен обратной величине этого процесса в нулевой момент времени:

${\displaystyle Z_{t}={A_{t}/B_{t} \over A_{0}/B_{0}}}$

Замена меры в дифференциальном представлении процессов

При замене меры в соответствии с теоремой Гирсанова в представлении стохастического процесса в дифференциальной форме меняется дрифт - трендовая составляющая - на величину, равную взятому с обратным знаком произведению волатильности процесса на волатильность процесса плотности. То есть если исходный процесс в мере ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{A}}$ имеет вид

${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}(X_{t})dt+{\boldsymbol {\sigma }}_{t}^{T}(X_{t})d{\boldsymbol {W}}_{t}^{\mathbb {Q} ^{A}}}$

то в мере ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{B}}$ процесс имеет вид:

${\displaystyle dX_{t}=[\mu _{t}(X_{t})-{\boldsymbol {\lambda }}_{t}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}_{t}(X_{t})]dt+{\boldsymbol {\sigma }}_{t}(X_{t})d{\boldsymbol {W}}_{t}^{\mathbb {Q} ^{B}}}$

где ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}_{t}^{T}}$ - процесс волатильности для процесса плотности ${\displaystyle z_{t}}$ замены мер:

${\displaystyle dz_{t}=-z_{t}{\boldsymbol {\lambda }}_{t}^{T}d{\boldsymbol {W}}_{t}^{\mathbb {Q} ^{A}}}$

Примеры замены мер

Замена риск-нейтральной меры на форвардную

В риск-нейтральной мере базой стоимости (numeraire) является банковский счет , а в форвардной мере - бескупонная облигация. Согласно общей формуле замены меры имеем

${\displaystyle \mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}(V_{T})=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }({B_{t}P(T,T) \over B_{T}P(t,T)}V_{T})=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }({D(t,T) \over P(t,T)}V_{T})}$

Учитывая, что процесс стоимости дисконтной облигации ${\displaystyle P(t,T)=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)]}$ является фактически t-измеримым случайным процессом, то его можно вынести за знак математического ожидания и тогда получаем следующую формулу

${\displaystyle V_{t}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }(D(t,T)V_{T})=P(t,T)\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}(V_{T})}$

Первая формула- формула оценки в риск-нейтральной мере, вторая - в форвардной мере.

Замены между форвардными мерами различной срочности

Используя общую формулу замены мер можно записать следующую формулу при ${\displaystyle T<S}$ :

${\displaystyle \mathbb {E} _{t}^{T}(X_{T})=\mathbb {E} _{t}^{S}\left[{P(t,S) \over P(t,T)}{P(T,T) \over P(T,S)}X_{T}\right]={P(t,S) \over P(t,T)}\mathbb {E} _{t}^{S}\left[{X_{T} \over P(T,S)}\right]}$

Если подставить в эту формулу вместо ${\displaystyle X_{T}}$ величину ${\displaystyle P(T,S)X_{T}}$ , получим

${\displaystyle \mathbb {E} _{t}^{T}(P(T,S)X_{T})={P(t,S) \over P(t,T)}\mathbb {E} _{t}^{S}\left[X_{T}\right]}$

Следовательно

${\displaystyle \mathbb {E} _{t}^{S}\left[X_{T}\right]={P(t,T) \over P(t,S)}\mathbb {E} _{t}^{T}(P(T,S)X_{T})}$

Соответственно, если внутри математического ожидания использовать замену ${\displaystyle P(S,T)}$ на ${\displaystyle 1/P(T,S)}$ при необходимости, то независимо от того, ${\displaystyle T<S}$ или ${\displaystyle T>S}$ можно использовать формулу

${\displaystyle \mathbb {E} _{t}^{T}(X_{T})={P(t,S) \over P(t,T)}\mathbb {E} _{t}^{S}\left[{X_{T} \over P(T,S)}\right]}$

Из этого следует общая формула оценки случайного будущего платежа в произвольной форвардной мере

${\displaystyle V_{t}=P(t,S)\mathbb {E} _{t}^{S}\left[{V_{T} \over P(T,S)}\right]}$

И в частности, если T=S знаменатель становится равным единице и получаем классическую формулу оценки в собственной форвардной мере.

Также можно показать, что в вышеприведенную формулу также можно записать и заменив ${\displaystyle P(T,S)}$ на ${\displaystyle D(T,S)}$

${\displaystyle V_{t}=P(t,S)\mathbb {E} _{t}^{S}\left[{V_{T} \over D(T,S)}\right]}$

Замена форвардных мер на своп-меру

См. также

• Риск-нейтральная мера
• Форвардная мера
• Теорема Гирсанова