Interested Article - Модель LMM
- 2021-09-06
- 1
Модель рынка либор ( LMM , LIBOR Market Model ) или Модель BGM ( Brace-Gatarek-Musiela Model - модель Брейса-Гатарека-Мусиелы), а также иногда логнормальная модель форвардных ставок ( LFM, LFRM ) - в финансовой математике это модель динамики совокупности форвардных ставок в единой мере, используемая при оценке процентных производных инструментов, особенно экзотических производных инструментов.
Наличие в названии "рынка либор" связано с тем, что в на практике ее можно было применять к существовавшему длительное время рынку процентных ставок LIBOR. Альтернативное наименование LFM конкретизирует логнормальный характер моделирования каждой форвардной ставки в собственной форвардной мере по аналогии с моделью Блэка. Собственно, оценка стоимости таких инструментов как кэпы и флоры в рамках такой модели эквивалентно оценке по формуле Блэка. Кроме того такое наименование модели в некотором смысле противопоставляется аналогичной модели для своп-ставок - LSM или LSRM (lognormal swap-rates model), так как, строго говоря логнормальность форвардных ставок и своп-ставок математически несовместимы (поэтому, одновременное использование формулы Блэка и для кэпов/флоров и для свопционов вообще говоря теоретически не совсем корректно).
На практике требуется применение численных методов для использования модели, в том числе методов симуляции (Монте-Карло).
Математическое представление модели
В модели LMM динамика форвардных ставок в некоторой -форвардной мере определяется следующими стохастическими дифференциальными уравнениями:
где:
- форвардная ставка на j-й временной интервал, а - ее локальная логнормальная волатильность
- винеровский процесс в - форвардной мере для j-й форвардной ставки
- локальная корреляция винеровских процессов и , то есть
В частности, если выбрана терминальная форвардная мера, то для всех форвардных ставок выполняется первое уравнение
Вывод формул
Форвардные ставки являются мартингалами в собственной форвардной мере, поэтому в этой мере описываются уравнением без дрифта
См. также
- 2021-09-06
- 1