Теорема Стокса
- 1 year ago
- 0
- 0
Теорема Холево — важная ограничивающая теорема в области квантовых вычислений , междисциплинарной области физики и информатики . Её иногда называют границей Холево , поскольку теорема устанавливает верхнюю границу на количество информации, которую можно узнать о квантовом состоянии (доступная информация). Теорему опубликовал Александр Семёнович Холево в 1973 году.
Как и для других концепций квантовой теории информации , понять суть вопроса легче на примере общения двух людей. Пусть у нас есть Алиса и Боб . У Алисы есть классическая случайная величина X , которая может принимать значения {1, 2, …, n } с соответствующими вероятностями . Алиса подготавливает квантовое состояние , представленное матрицей плотности , выбранной из множества , и передаёт это состояние Бобу. Целью Боба является поиск значения X , которое осуществляется через измерение состояния , что даёт классический результат, обозначаемый через Y . В этом контексте количество доступной информации, то есть, количество информации, которую Боб может получить посредством переменной X , является максимальным значением взаимной информации I ( X : Y ) между случайными переменными X и Y по всем возможным измерениям, которые Боб может сделать .
В настоящее время не известно формулы вычисления доступной информации. Имеется, однако, несколько верхних границ, из которых наиболее известна граница Холево, которая выражается следующей теоремой .
Пусть будет множеством смешанных состояний и пусть будет одним из этих состояний, извлечённым согласно распределению вероятности .
Теперь для любого измерения, описываемого элементами ( англ. positive operator-valued measure , положительная операторная мера) и осуществлённого на , количество доступной информации от переменной X в виде результата измерения Y ограничен сверху следующим образом:
где ; является .
Величина в правой части неравенства называется информацией Холево или величина χ Холево :
Для доказательства рассмотрим три квантовые системы с именами . При этом рассматривается как подготовка , — как квантовое состояние, подготовленное Алисой и переданное Бобу, а — как средства измерения полученной информации Боба.
Сложная система в начале находится в состоянии
Состояние Алисы можно рассматривать так, как если бы Алиса имела значение для случайной переменной . Тогда состояние подготовки является смешанным состоянием , описываемым матрицей плотности , квантовое состояние, переданное Бобу, равно , а средства измерения Боба находятся в их начальном или холостом состоянии .
Используя известные результаты квантовой теории информации [ какие? ] можно показать [ как? ] , что
Также после некоторых алгебраических выкладок можно показать [ как? ] , что это эквивалентно утверждению теоремы .
По существу, граница Холево доказывает, что для n кубит , хотя они могут «нести» большее количество (классической) информации благодаря квантовой суперпозиции, количество классической информации, которую можно извлечь , то есть получить на практике , не превышает n классических (то есть не закодированных квантово) бит . Это удивительно по двум причинам [ источник не указан 1034 дня ] :
{{
cite arXiv
}}
:
Недопустимый
|ref=harv
(
справка
)
См. секцию 11.6. Теорема Холево представлена как упражнение 11.9.1 на странице 288.