Interested Article - Пара топологических пространств

Пара топологических пространств — упорядоченная пара $(X,A)$ где $X$ — топологическое пространство, а $A$ — подпространство (с топологией подпространства ).

Отображение пар $f\colon (X,A)\to (Y,B)$ определяется как отображение $f\colon X\to Y$ такое, что $f(A)\subset B$ .

Понятие топологической пары удобно для определения относительных гомологий $H_{k}(X,Y)$ , для которых как раз требуется, чтобы $Y$ вкладывалось в $X$ . Для хороших пространств (например, если $Y$ — клеточный подкомплекс клеточного комплекса $X$ ) выполнено равенство $H_{k}(X,Y)\simeq {\overline {H}}(X/Y)=H(X/Y,\varnothing ).$

Свойства

Существует функтор из пространств в пары, который отображает пространство $X$ в пару $(X,\varnothing )$ ,

Относительные гомологии

Если дана пара топологических пространств $(X,Y)$ , то для любой теории гомологий можно рассмотреть группу относительных цепей $C_{k}(X)/C_{k}(Y)$ . Тогда гомологии полученного цепного комплекса обозначают $H_{k}(X,Y)$ и называют гомологиями пары .

Понятие относительных гомологий позволяет построить так называемую длинную точную последовательность пары :

\ldots \longleftarrow H_{k-1}(Y){\stackrel {\partial _{\ast }}{\longleftarrow }}H_{k}(X,Y)\longleftarrow H_{k}(X)\longleftarrow H_{k}(Y){\stackrel {\partial _{\ast }}{\longleftarrow }}H_{k+1}(X,Y)\longleftarrow \ldots

Вариации и обобщения

Родственным понятием является понятие тройки $(X,A,B)$ , где $B\subseteq A\subseteq X$ . Тройки используются в теории гомотопий . Часто для пространств с отмеченной точкой $x_{0}$ тройку записывают как $(X,A,B,x_{0})$ , где $x_{0}\in B\subseteq A\subseteq X$ .