${\displaystyle K(G,n)}$ пространства (или пространства Эйленберга — Маклейна) — топологические пространства с единственной нетривиальной гомотопической группой ${\displaystyle G}$ в размерности ${\displaystyle n}$ .

Названы в честь Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Маклейна , которые рассматривали эти пространства в конце 1940-х годов.

Определение

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа и ${\displaystyle n}$ — положительное целое число. Линейно связное топологическое пространство ${\displaystyle X}$ называется ${\displaystyle K(G,n)}$ пространством, если оно имеет ${\displaystyle n}$ -ную гомотопическую группу ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ изоморфную ${\displaystyle G}$ , а все остальные гомотопические группы ${\displaystyle X}$ тривиальны.

Если ${\displaystyle n>1}$ , то необходимо предположить, что ${\displaystyle G}$ коммутативна.

Существование и единственность

При данных ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle n}$ , пример ${\displaystyle K(G,n)}$ пространства может быть построен поэтапно, как CW-комплекс , начиная с букета из ${\displaystyle n}$ -мерных сфер , по одной на каждую образующую группы ${\displaystyle G}$ , и далее добавляя клетки (возможно, бесконечное число) более высоких измерений, чтобы убить все лишние гомотопические группы, начиная с размерности ${\displaystyle n+1}$ .

Примеры

• Окружность ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ является ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$ пространством.

• Бесконечномерное вещественное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{\infty }}$ является ${\displaystyle K(\mathbb {Z} _{2},1)}$ пространством.

• Сумма букет k окружностей ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{k}\mathbb {S} ^{1}}$ это ${\displaystyle K(G,1)}$ для ${\displaystyle G}$ — свободная группа с k образующими.

• Дополнение к любому узлу в трёхмерной сфере ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ является ${\displaystyle K(G,1)}$ пространством; это следует из асферичности узлов — теоремы Христоса Папакириакопулоса доказанной им в 1957 году.

• Любое компактное связное неположительной секционной кривины многообразие M является ${\displaystyle K(\Gamma ,1)}$ , где ${\displaystyle \Gamma =\pi _{1}(M)}$ является фундаментальной группой М.
  • То же верно для локально CAT(0) пространств .

• Бесконечномерное комплексное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty }}$ является ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ пространством. Его кольцо когомологий ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ а именно свободное кольцо многочленов с одной образующей ${\displaystyle x}$ в размерности 2. Эта образующая может быть представлен в когомологиях де Рама 2-формой Фубини — Штуди.

Свойства

• ${\displaystyle K(G,n)}$ пространство единствененно с точностью до слабой гомотопической эквивалентности .

• Произведение ${\displaystyle K(G,n)}$ и ${\displaystyle K(H,n)}$ пространств является ${\displaystyle K(G\times H,n)}$ пространством.

• Предположим, что ${\displaystyle X}$ — ${\displaystyle K(G,n)}$ пространство, и ${\displaystyle K}$ — произвольный CW-комплекс. Тогда для множества гомотопических классов отображений ${\displaystyle K\to X}$ существует естественная биекция с группой когомологий ${\displaystyle H^{n}(K,G)}$ . Это утверждение аналогично лемме Йонеды в теории категорий .

• Пространство петель пространства ${\displaystyle K(G,n)}$ пространства является ${\displaystyle K(G,n-1)}$ пространством.

См. также

• Асферическое пространство — K(G,1) пространство.
• Гомологическая сфера

Литература

• Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л. Гомотопическая топология. — М. : МГУ, 1969.

• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1945), "Relations between homology and homotopy groups of spaces", Annals of Mathematics , (Second Series), 46 (3): 480—509, doi :

• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1950), "Relations between homology and homotopy groups of spaces. II", Annals of Mathematics , (Second Series), 51 (3): 514—533, doi :

• Morita, Kiiti. Čech cohomology and covering dimension for topological spaces (англ.) // Fundamenta Mathematicae : journal. — 1975. — Vol. 87 . — P. 31—52 . — doi : .

• Papakyriakopoulos, C. D. On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1957. — Vol. 43 , no. 1 . — P. 169—172 . — doi : . — .

• Papakyriakopoulos, C. D. (англ.) // Ann. Math. : journal. — 1957. — Vol. 66 , no. 1 . — P. 1—26 . — doi : .