Monstrous moonshine — неожиданная связь простой конечной группы-монстра ${\displaystyle M}$ с модулярными функциями (в частности, с ${\displaystyle j}$ -инвариантом ) . Была выдвинута как гипотеза в 1970-х годах и доказана в 1992 году.

Название

Monstrous moonshine также называется в английском языке moonshine theory , а до момента доказательства называлась monstrous moonshine hypothesis .

В русском языке она может именоваться оригинальным англоязычным названием или переводиться разными способами:

• Гипотеза чудовищного вздора .
• Лунные гипотезы .
• Лунный свет .
• Moonshine-гипотеза .

История

Первое проявление связи обнаружено в конце 1970-х годов , обратившим внимание на то, что коэффициенты ряда Фурье нормализованного ${\displaystyle j}$ -инварианта:

${\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+\cdots }$

( ${\displaystyle \tau }$ — , ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ ) являются специфическими линейными комбинациями размерностей ${\displaystyle r_{i}}$ неприводимых представлений группы ${\displaystyle M}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}\\&=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_{5}+r_{7}\\&=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\dots \end{aligned}}}$ .

Джон Томпсон для объяснения феномена предложил изучить степенные ряды с коэффициентами, являющимися характерами представлений монстра, вычисленными для различных его элементов. В 1979 году Джон Конвей (предложивший термин monstrous moonshine , впервые узнав о соотношении Маккея) и построили такие функции (ряды Маккея — Томпсона), и обнаружили их сходство с ( нем. ), сформулировав содержание гипотезы: каждый ряд Маккея — Томпсона соответствует определённой главной модулярной функции .

В 1992 году гипотеза была доказана учеником Конвея Ричардом Борчердсом , впоследствии получившим Филдсовскую премию , в том числе за этот результат. Доказательство существенным образом опиралось на свойства некоторой алгебры вершинных операторов ( ), для которой группа-монстр является группой симметрий, и тем самым обнаружена связь утверждения с теорией струн и конформной теорией поля (основывающихся на алгебрах вершинных операторов).

Примечания