Ромбоикосододека́эдр — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 62 гранями, составленный из 20 правильных треугольников , 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников .

В каждой из его 60 одинаковых вершин сходятся одна пятиугольная грань, две квадратных и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен ${\displaystyle 2\pi -\arccos {\frac {5-4{\sqrt {5}}}{15}}\approx 1{,}42\pi .}$

Ромбоикосододекаэдр имеет 120 рёбер равной длины. При 60 рёбрах (между треугольной и квадратной гранями) двугранные углы равны ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 159{,}09^{\circ };}$ при 60 рёбрах (между квадратной и пятиугольной гранями) ${\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right)\approx 148{,}28^{\circ }.}$

Ромбоикосододекаэдр можно представить либо как додекаэдр , усечённый по вершинам и рёбрам (при этом треугольники соответствуют вершинам додекаэдра, а квадраты — рёбрам), либо как икосаэдр , усечённый таким же образом (при этом пятиугольники соответствуют вершинам икосаэдра, а квадраты — рёбрам), либо же как усечённый икосододекаэдр .

В координатах

Ромбоикосододекаэдр с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

• ${\displaystyle (\pm 1;\;\pm 1;\;\pm (2\Phi +1)),}$
• ${\displaystyle (\pm (\Phi +1);\;\pm \Phi ;\;\pm 2\Phi),}$
• ${\displaystyle (\pm (\Phi +2);\;0;\;\pm (\Phi +1)),}$

где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения .

Начало координат ${\displaystyle (0;\;0;\;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер .

Метрические характеристики

Если ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 59{,}3059828a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\left(60+29{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 41{,}6153238a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}2329505a;}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {10+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}1762509a.}$

Вписать в ромбоикосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри ромбоикосододекаэдра с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех пятиугольных граней в их центрах), равен

${\displaystyle r_{5}={\frac {3}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\;a\approx 2{,}0645729a.}$

Расстояния от центра многогранника до квадратных и треугольных граней превосходят ${\displaystyle r_{5}}$ и равны соответственно

${\displaystyle r_{4}={\frac {1}{2}}\left(2+{\sqrt {5}}\right)a\approx 2{,}1180340a,}$

${\displaystyle r_{3}=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\sqrt {\frac {5}{3}}}\right)a\approx 2{,}1570199a.}$

В культуре

В наборах для моделирования пространственных фигур Zometool в качестве соединителей используются рёберные каркасы ромбоикосододекаэдра.

Примечания

Литература

• М. Веннинджер . Модели многогранников. — Мир , 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова , А. И. Маркушевича , А. Я. Хинчина . — М. : Государственное издательство физико-математической литературы , 1963. — С. 382—447.
• Л. А. Люстерник . Выпуклые фигуры и многогранники. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы , 1956.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .