Interested Article - Циклический многогранник

Циклический многогранник — выпуклый многогранник , вершины которого лежат на кривой $t\mapsto (t,t^{2},\dots ,t^{d})$ $t\mapsto (t,t^{2},\dots ,t^{d})$ в $\mathbb {R} ^{d}$ $\mathbb {R} ^{d}$ .

Конструкция

Пусть $\mathbf {x} (t)=(t,t^{2},\dots ,t^{d})\in \mathbb {R} ^{d}$ ${\mathbf {x}}(t)=(t,t^{2},\dots ,t^{d})\in \mathbb{R} ^{d}$ и $t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}$ $t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}$ . Выпуклая оболочка $n$ $n$ точек $\mathbf {x} (t_{1}),\mathbf {x} (t_{2}),\ldots ,\mathbf {x} (t_{n})$ ${\mathbf {x}}(t_{1}),{\mathbf {x}}(t_{2}),\ldots ,{\mathbf {x}}(t_{n})$ называется $d$ $d$ -мерным циклическим многогранником с $n$ $n$ вершинами и далее обозначается $C(n,d)$ $C(n,d)$ .

Свойства

Критерий Гейла: Пусть $T=\{t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}\}$ $T=\{t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}\}$ , и $T_{d}\subset T$ $T_{d}\subset T$ — подмножество из $d$ $d$ элементов. Гипергрань в $C(n,d)$ $C(n,d)$ соответствует $T_{d}$ $T_{d}$ тогда и только тогда, когда между любыми двумя соседними числами в $T_{d}$ $T_{d}$ лежит чётное число чисел из $T$ $T$ .
Любые ⌊ d 2 ⌋ {\displaystyle \lfloor {\tfrac {d}{2}}\rfloor } вершин в C ( n , d ) {\displaystyle C(n,d)} образуют грань.
- В частности, любые две вершины 4-мерного циклического многогранника соединены ребром.
Число i {\displaystyle i} -мерных граней в C ( n , d ) {\displaystyle C(n,d)} при 0 ≤ i < ⌊ d 2 ⌋ {\displaystyle 0\leq i<\lfloor {\frac {d}{2}}\rfloor } равно ( n i + 1 ) {\displaystyle {\binom {n}{i+1}}} .
- Используя тождества Дена — Сомервиля , можно найти число граней старших размерностей.
- Для любого $k$ $k$ среди всех $d$ $d$ -мерных многогранников с $n$ $n$ вершинами циклические многогранники имеют максимальное число $k$ $k$ -мерных граней.