В математике F ₄ — название одной из пяти (компактных или комплексных) особых простых групп Ли , а также её алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$ . F ₄ имеет ранг 4 и размерность 52. Группа F ₄ односвязна, а её тривиальна. Простейшее точное линейное представление группы F ₄ , а также её алгебры Ли, 26-мерно и неприводимо.

Компактная вещественная форма (комплексной) группы F ₄ является группой изометрий 16-мерного риманова многообразия , известного как «октонионная проективная плоскость », OP ² . Это может быть показано с помощью общего приёма, использующего конструкцию, известную как , разработанную и Ж. Титсом .

Есть с алгеброй ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$ : компактная, разделённая и третья.

Алгебра Ли F ₄ может быть получена путём добавления к 36-мерной алгебре Ли ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(9)}$ 16 генераторов, преобразующихся как спиноры , аналогично тому, как это делается в построении E 8 .

Алгебра

Корневые векторы F ₄

${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0)}$ ,

${\displaystyle (\pm 1,0,\pm 1,0)}$ ,

${\displaystyle (\pm 1,0,0,\pm 1)}$ ,

${\displaystyle (0,\pm 1,\pm 1,0)}$ ,

${\displaystyle (0,\pm 1,0,\pm 1)}$ ,

${\displaystyle (0,0,\pm 1,\pm 1)}$ ,

${\displaystyle (\pm 1,0,0,0)}$ ,

${\displaystyle (0,\pm 1,0,0)}$ ,

${\displaystyle (0,0,\pm 1,0)}$ ,

${\displaystyle (0,0,0,\pm 1)}$ ,

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}}\right)}$ ,

и простые положительные корневые векторы

${\displaystyle (0,1,-1,0)}$ ,

${\displaystyle (0,0,1,-1)}$ ,

${\displaystyle (0,0,0,1)}$ ,

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}$ .

Группа Вейля / Коксетера

Для данной группы это — группа симметрии .

Матрица Картана

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}}}$

Решётка симметрии F ₄

4-мерная имеет F ₄ как точечную группу симметрии. Это объединение двух гиперкубических решёток, точки каждой из которых лежат в центрах гиперкубов другой, образует кольцо , называемое кольцом кватернионов Гурвица . 24 кватерниона Гурвица с нормой 1 образуют .

Источники

• John Baez , The Octonions , Section 4.2: F ₄ , . (англ.) (Дата обращения: 26 декабря 2009)