Interested Article - Интервальная оценка

В математической статистике интервальной оце́нкой называется результат использования выборки для вычисления интервала возможных значений неизвестного параметра, оценку которого нужно построить. Следует отличать от точечной оценки , которая даёт лишь одно значение. Самым распространенным видом интервальных оценок являются доверительные интервалы .

Определение

Пусть $X=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ $X=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ — случайная выборка объёма $n$ $n$ , порождённая случайной величиной с функцией распределения вероятностей $F(x;\theta)$ $F(x;\theta)$ , известной с точностью до параметра $\theta \in \Theta$ $\theta \in \Theta$ . Располагая выборкой $X$ $X$ , необходимо найти оценку ${\hat {\theta }}$ ${\hat {\theta }}$ параметра $\theta \in \Theta$ $\theta \in \Theta$ . В общем случае имеется нулевая вероятность того, что ${\hat {\theta }}=\theta$ ${\hat {\theta }}=\theta$ — что точечная оценка ${\hat {\theta }}$ ${\hat {\theta }}$ совпадёт с параметром $\theta$ $\theta$ . Поэтому для оценивания параметра используется интервальная оценка.

Проблема состоит в нахождении на основании выборки статистик ${\hat {\theta _{1}}}={\hat {\theta _{1}}}(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ${\hat {\theta _{1}}}={\hat {\theta _{1}}}(X_{1},\ldots ,X_{n})$ , ${\hat {\theta _{2}}}={\hat {\theta _{2}}}(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ${\hat {\theta _{2}}}={\hat {\theta _{2}}}(X_{1},\ldots ,X_{n})$ , которые с достоверностью удовлетворяют неравенству ${\hat {\theta _{1}}}<\theta <{\hat {\theta _{2}}}$ ${\hat {\theta _{1}}}<\theta <{\hat {\theta _{2}}}$ . Зададимся достаточно малым числом $\alpha$ $\alpha$ — уровнем значимости . Тогда интервал $[{\hat {\theta _{1}}},{\hat {\theta _{2}}}]$ $[{\hat {\theta _{1}}},{\hat {\theta _{2}}}]$ называется интервальной оценкой параметра $\theta$ $\theta$ , если $P({\hat {\theta _{1}}}<\theta <{\hat {\theta _{2}}})=1-\alpha$ $P({\hat {\theta _{1}}}<\theta <{\hat {\theta _{2}}})=1-\alpha$ .

Интервал $I(X)=[{\hat {\theta _{1}}}(X),{\hat {\theta _{2}}}(X)]$ $I(X)=[{\hat {\theta _{1}}}(X),{\hat {\theta _{2}}}(X)]$ называется доверительным интервалом параметра на уровне значимости $\alpha$ $\alpha$ или с надежностью $1-\alpha$ $1-\alpha$ .

Свойства интервальных оценок

Если для оценки параметра $\theta$ $\theta$ построено два различных $1-\alpha$ $1-\alpha$ доверительных интервала $I$ $I$ и $J$ $J$ , то интервал $I$ $I$ меньше интервала $J$ $J$ тогда и только тогда, когда при каждом $\theta$ $\theta$ вероятность покрыть любое $\theta _{1}\neq \theta$ $\theta _{1}\neq \theta$ интервалом $I$ $I$ меньше или равна вероятности покрыть $\theta _{1}$ $\theta _{1}$ интервалом $J$ $J$ .
Доверительный интервал $I$ $I$ надежности $1-\alpha$ $1-\alpha$ для $\theta$ $\theta$ называется несмещенным, если вероятность покрыть им любое $\theta _{1}\neq \theta$ $\theta _{1}\neq \theta$ меньше или равна $1-\alpha$ $1-\alpha$ .

История

Ежи Нейман определил интервальное оценивание («оценивание интервалами») как отличное от точечного оценивания («оценивание единичной оценкой»). Он распознал что, поскольку результаты того времени публиковались в виде «оценка ± стандартное отклонение », учёные-статистики на самом деле имели в виду интервальное оценивание.

См. также

Точечная оценка

Примечания

, с. 225.
↑ , с. 233.

Литература

Колемаев В. А. Теория вероятностей и математическая статистика. — М. : Высшая школа, 1991. — 400 с. — ISBN 5-06-001545-9 .
Маталыцкий М. А., Хацкевич Г.А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. — Минск: Вышэйшая школа, 2012. — 720 с.