Interested Article - Статистическая оценка

Статистическая оценка — это статистика , которая используется для оценивания неизвестных параметров распределений случайной величины.

Определение

Например, если $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{1},\ldots ,X_{n}$ — это независимые случайные величины, с заданным нормальным распределением $N(\mu ,1)$ $N(\mu ,1)$ , то $\mu$ $\mu$ будет средним арифметическим результатов наблюдений.

Задача статистической оценки формулируется так:

Пусть $\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$ $\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$ — выборка из генеральной совокупности с распределением $F_{\xi }(x,\theta)$ $F_{\xi }(x,\theta)$ . Распределение $F_{\xi }$ $F_{\xi }$ имеет известную функциональную форму, но зависит от неизвестного параметра $\theta$ $\theta$ . Этот параметр может быть любой точкой заданного параметрического множества $\Theta$ $\Theta$ . Используя статистическую информацию, содержащуюся в выборке $\xi$ $\xi$ , сделать выводы о настоящем значении параметра $\theta$ $\theta$ .

Точечная оценка

Оценка является случайной величиной так как представляет собой функцию от случайных величин $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{1},\ldots ,X_{n}$ :

{\hat {\theta }}={\hat {\theta }}(X_{1},\ldots ,X_{n})

{\hat {\theta }}={\hat {\theta }}(X_{1},\ldots ,X_{n})

Функция распределения оценки зависит от распределения величины $X$ $X$ (и от параметра $\theta$ $\theta$ ), а также от размера выборки $n$ $n$ .

Оценка ${\hat {\theta }}$ ${\hat {\theta }}$ может обладать рядом «хороших» свойств :

Состоятельная оценка — при увеличении числа опытов оценка ${\hat {\theta }}$ ${\hat {\theta }}$ сходится по вероятности к параметру $\theta$ $\theta$
Несмещённая оценка — если математическое ожидание оценки совпадает с оцениваемым параметром $M[{\hat {\theta }}]=\theta$ $M[{\hat {\theta }}]=\theta$
Эффективная оценка — если дисперсия несмещённой оценки $D[{\hat {\theta }}]$ $D[{\hat {\theta }}]$ является минимальной по сравнению с другими оценками