Конкретная категория в математике — категория , снабжённая строгим функтором в категорию множеств . Благодаря этому функтору можно оперировать с объектами такой категории образом, сходным с работой с множествами с дополнительной структурой, а морфизмы представлять как функции, сохраняющие дополнительную структуру. Многие категории имеют очевидную интерпретацию конкретных категорий, например, категория групп, категория топологических пространств и собственно категория множеств. С другой стороны, существуют неконкретизируемые категории; например, категория гомотопий топологических пространств неконкретизируема, то есть не допускает строгого функтора в категорию множеств.

Определение

Конкретная категория — это пара ( C , U ), такая что:

• C является категорией,
• U — строгий функтор C → Set ( категория множеств ).

Функтор U является забывающим функтором , сопоставляющим объекту категории его «множество-носитель».

Категория C конкретизируема , если существует строгий функтор из неё в категорию множеств. В частности, все малые категории конкретизируемы: функтор U можно определить как функтор, отправляющий объект b категории C во множество всех стрелок f : a → b (для всевозможных объектов a ), а морфизм g : b → c категории C — в морфизм U ( g ): U ( b ) → U ( c ), который сопоставляет стрелке f : a → b композицию gf : a → c .

Интуиция

Вопреки интуиции, «конкретность» — это не свойство, которым категория может обладать или не обладать, а дополнительная структура, которой она может быть снабжена, кроме того, категория может допускать несколько строгих функторов в Set . Однако на практике этот функтор обычно очевиден.

Требование строгости U означает, что он отображает разные морфизмы с фиксированным образом и прообразом в разные функции на множествах. Однако он может «склеивать» разные объекты категории, и, если это случится, он будет отображать разные морфизмы в одну функцию.

Например, если S and T — две различные топологии на одном множестве X , то ( X , S ) и ( X , T ) — различные объекты категории Top топологических пространств и непрерывных отображений, но они отображаются в одно и то же множество X под действием забывающего функтора Top → Set . Более того, тождественные морфизмы ( X , S ) → ( X , S ) и ( X , T ) → ( X , T ) понимаются как различные морфизмы в Top , однако им соответствует одна и та же функция, а именно тождественная функция на X .

Неконкретизируемые категории

Категория называется неконкретизируемой, если не существует строго функтора из неё в категорию множеств.

Например, категория hTop , объекты которой — топологические пространства, а морфизмы — классы гомотопных функций, не является конкретизируемой. Хотя объекты этой категории можно представить как множества, однако морфизмы в ней — это не функции, а, скорее, классы функций. Отсутствие строгого функтора из hTop в Set было доказано в 1970 году . Ранее было показано, что категория всех малых категорий и естественных преобразований неконкретизируема.

Литература

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 . (now free on-line edition).

• Freyd, Peter; (1970). . Originally published in: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Republished in a free on-line journal: Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 6 (2004), with the permission of Springer-Verlag.

• Rosický, Jiří; (1981). Concrete categories and infinitary languages . , Volume 22, Issue 3.