Некооперативная игра — термин теории игр . Некооперативной игрой называется математическая модель взаимодействия нескольких сторон (игроков) , в процессе которого они не могут формировать коалиции и координировать свои действия.

Некооперативная игра в нормальной форме

Некооперативной игрой в нормальной форме называется тройка ${\displaystyle \Gamma =\left\langle I,\left\{S_{i}\right\}_{i\in I},\left\{H_{i}\right\}_{i\in I}\right\rangle }$ , где ${\displaystyle \ I}$ — множество участников игры (сторон, игроков); ${\displaystyle \ S_{i}}$ — множество стратегий участника ${\displaystyle \ i\in \ I}$ ; ${\displaystyle \ H_{i}}$ — функция выигрыша участника ${\displaystyle \ i}$ , определенная на множестве ситуаций ${\displaystyle \ S=\prod _{i\in I}S_{i}}$ и отображающая его во множество действительных чисел .

Некооперативная игра в нормальной форме предполагает следующий порядок разыгрывания.

1. Игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают из множеств ${\displaystyle \ S_{i}}$ свои стратегии. Вектор стратегий ${\displaystyle \ s=(s_{1},s_{2},...,s_{n})}$ всех игроков представляет собой ситуацию в игре.

2. Каждый игрок получает выигрыш, определяемый значением функции ${\displaystyle \ H_{i}(s)}$ , на этом взаимодействие между ними прекращается.

Нормальная форма игры описывает статическое взаимодействие игроков, не предусматривая возможности последовательных ходов, накопления информации о действиях соперника и повторяющегося взаимодействия. Для моделирования этих аспектов используется развернутая форма игры.

Некооперативная игра в развернутой форме

Некооперативная игра в развернутой форме с множеством игроков ${\displaystyle \ I}$ представляется с использованием ориентированного дерева (дерева игры) следующим образом.

Вершины дерева представляют собой состояния ( позиции ), в которых может оказываться игра, ребра — ходы , которые могут использовать игроки. Предполагается, что в каждой позиции может совершать ход не более одного игрока. Выделяется три вида позиций в игре:

• начальная , представляемая корнем дерева (вершиной, не имеющей входящих ребер);
• промежуточные , имеющие входящие и выходящие ребра;
• терминальные , имеющие только входящие ребра.

Начальная и промежуточные позиции образуют множество нетерминальных позиций.

Для каждой вершины дерева ${\displaystyle \ v}$ , соответствующей нетерминальной позиции, определен игрок ${\displaystyle \ i}$ , совершающий в ней ход и множество ходов этого игрока ${\displaystyle \ S_{v}}$ . Каждому ходу ${\displaystyle \ s\in \ S_{v}}$ соответствует ребро, выходящее из вершины ${\displaystyle \ v}$ .

Для учёта несовершенства информации, имеющейся у игроков, нетерминальные вершины могут объединяться в информационные множества .

Для каждой вершины ${\displaystyle \ v}$ , соответствующей терминальной позиции, определены функции выигрыша всех игроков ${\displaystyle \ H_{i}(v)}$ .

Игра предполагает следующий порядок разыгрывания:

1. Игра начинается из начальной позиции.

2. В любой нетерминальной позиции ${\displaystyle \ v}$ игрок, имеющий в ней право хода, выбирает ход ${\displaystyle \ s\in \ S_{v}}$ , в результате чего игра попадает в следующую позицию, в которую входит ребро, соответствующее ходу ${\displaystyle \ s}$ . Если эта позиция является нетерминальной, то повторяется п. 2.

3. Если игра попадает в терминальную позицию ${\displaystyle \ v}$ , то все игроки получают выигрыши ${\displaystyle \ H_{i}(v)}$ , и игра завершается.

Принципы оптимальности

Основным принципом оптимальности стратегий для некооперативных игр в нормальной форме является равновесие Нэша , основанное на невозможности отклонений участников от выбранных стратегий. К настоящему времени разработано семейство принципов, основанных на равновесии Нэша, и называемых очищениями равновесия Нэша (Nash equilibrium refinements), наиболее часто используемыми среди которых являются:

• равновесие дрожащей руки ;
• собственное равновесие ;
• сильное равновесие .

Менее универсальными, используемыми в отдельных классах некооперативных игр, являются следующие принципы:

• ε-равновесие ;
• равновесие в доминирующих стратегиях ;
• ;
• .

Для некооперативных игр в развернутой форме также используются принципы оптимальности, основанные на равновесии Нэша, но учитывающие специфику динамического взаимодействия игроков. К основным из них относятся:

• равновесие, совершенное по под-играм ;
• ;
• .

Примеры

• Дилемма заключённого
• Трагедия общин

См. также

• Кооперативная игра
• Теория игр
• Равновесие Нэша

Литература

• Петросян Л. А. , Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. — М. : Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — С. 304. — ISBN 5-06-001005-8 , 5-8013-0007-4.
• Васин А. А. , Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М. : Макс-пресс, 2005. — 272 с. — ISBN 5-317-01388-7 .
• Васин А.А. Некооперативные игры в природе и обществе. М.: Макс Пресс, 2005, 412 с. ISBN 5-317-01306-2 .