Interested Article - Коррелированное равновесие

Коррелированное равновесие ( англ. correlated equilibrium) — концепция решения в теории игр , предложенная Робертом Ауманном в 1974 году . Обобщает равновесие Нэша , то есть всякое равновесное по Нэшу решение является и коррелированным равновесием (обратное в общем случае неверно). В основе концепции лежит идея о том, что игроки совершают действия после получения дополнительной информации, источником которой служит коррелирующее устройство ( англ. correlating device). Поскольку стратегии игроков зависят от одного и того же сигнала, они коррелируют, чем и объясняется название концепции.

Выделяют объективное и субъективное виды коррелированного равновесия. Субъективное коррелированное равновесие эквивалентно концепции рационализируемости .

Определение

Соотношение равновесных концепций решения. Стрелками обозначено направление от рафинирований к менее требовательным концепциям

Имеется игра в нормальной форме с N участниками , $\displaystyle (N,A_{i},u_{i})$ $\displaystyle (N,A_{i},u_{i})$ . Игрок i характеризуется множеством действий $A_{i}$ $A_{i}$ и функцией полезности $u_{i}$ $u_{i}$ . Модификацией стратегии i-го игрока называется функция $\phi _{i}\colon A_{i}\to A_{i}$ $\phi _{i}\colon A_{i}\to A_{i}$ , то есть правило, предписывающее игроку выбрать стратегию $\phi _{i}(a_{i})$ $\phi _{i}(a_{i})$ вместо $a_{i}$ $a_{i}$ .

Пусть имеется счётное вероятностное пространство $(\Omega ,\pi)$ $(\Omega ,\pi)$ . Для i-го игрока определены разбиение $P_{i}$ $P_{i}$ и апостериорное распределение $q_{i}$ $q_{i}$ . Также имеется функция $s_{i}\colon \Omega \rightarrow A_{i}$ $s_{i}\colon \Omega \rightarrow A_{i}$ , ставящая элементам одного блока одно и то же значение. Тогда кортеж $((\Omega ,\pi),P_{i},s_{i})$ $((\Omega ,\pi),P_{i},s_{i})$ является коррелированным равновесием игры $(N,A_{i},u_{i})$ $(N,A_{i},u_{i})$ , если для каждого игрока $i$ $i$ и каждой модификации $\phi _{i}$ $\phi_i$ выполняется

\sum _{\omega \in \Omega }q_{i}(\omega)u_{i}(s_{i}(\omega),s_{-i}(\omega))\geq \sum _{\omega \in \Omega }q_{i}(\omega)u_{i}\left(\phi _{i}\left(s_{i}(\omega)\right),s_{-i}(\omega)\right)

\sum _{\omega \in \Omega }q_{i}(\omega)u_{i}(s_{i}(\omega),s_{-i}(\omega))\geq \sum _{\omega \in \Omega }q_{i}(\omega)u_{i}\left(\phi _{i}\left(s_{i}(\omega)\right),s_{-i}(\omega)\right)

Иначе говоря, $((\Omega ,\pi),P_{i})$ $((\Omega ,\pi),P_{i})$ есть коррелированное равновесие если ни один из игроков не сможет повысить ожидаемую полезность путём применения какой-либо модификации.

Примечания

Aumann, Robert. Subjectivity and correlation in randomized strategies (англ.) // (англ.) (: journal. — 1974. — Vol. 1 , no. 1 . — P. 67—96 . — doi : .
Aumann, Robert. (англ.) // Econometrica : journal. — 1987. — Vol. 55 , no. 1 . — P. 1—18 . — JSTOR .
Dekel, Eddie & Siniscalchi, Marciano. Epistemic game theory (forthcoming in the Handbook of Game Theory, vol. 4.).