Тензор Риччи , названный в честь Риччи-Курбастро , задаёт один из способов измерения кривизны многообразия , то есть степени отличия геометрии многообразия от геометрии плоского евклидова пространства . Тензор Риччи, точно так же как метрический тензор , является симметричной билинейной формой на касательном пространстве риманова многообразия . Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объёма , то есть степень отличия n -мерных областей n -мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства (см. тензора Риччи). Обычно обозначается ${\displaystyle \mathrm {Ric} }$ или ${\displaystyle \mathrm {Rc} }$ .

Определение

Пусть ${\displaystyle (M,g)}$ — n- мерное риманово многообразие , а ${\displaystyle T_{p}M}$ — касательное пространство к M в точке p . Для любой пары ${\displaystyle \xi ,\eta \in T_{p}M}$ касательных векторов в точке p , тензор Риччи ${\displaystyle \mathrm {Ric} (\xi ,\eta)}$ , по определению, отображает ${\displaystyle (\xi ,\eta)}$ в след линейного автоморфизма ${\displaystyle T_{p}M\to T_{p}M}$ , заданного тензором кривизны Римана R :

${\displaystyle \zeta \mapsto R(\zeta ,\eta)\xi }$

Если на многообразии заданы локальные координаты, то тензор Риччи можно разложить по компонентам:

${\displaystyle \operatorname {Ric} =R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}}$

где ${\displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}.}$ — след тензора Римана в координатном представлении.

Геометрический смысл

В окрестности любой точки p риманова многообразия ${\displaystyle (M,g)}$ можно всегда определить специальные локальные координаты, так называемые , в которых геодезические из точки p совпадают с прямыми, проходящими через начало координат. Кроме того, в самой точке p метрический тензор равен метрике евклидова пространства ${\displaystyle \delta _{ij}}$ (или метрике Минковского ${\displaystyle \eta _{ij}}$ в случае псевдориманова многообразия ).

В этих специальных координатах форма объема раскладывается в ряд Тейлора вокруг p :

${\displaystyle d\mu _{g}={\Big [}1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{3}){\Big ]}d\mu _{\text{Евклида}}}$

Таким образом, если кривизна Риччи ${\displaystyle {\textrm {Ric}}(\xi ,\xi)}$ положительна в направлении вектора ${\displaystyle \xi }$ , то узкий конус геодезических, исходящих из точки p в направлении ${\displaystyle \xi }$ , будет иметь меньший объем, чем такой же конус в евклидовом пространстве. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна, то узкий конус геодезических в направлении вектора ${\displaystyle \xi }$ будет иметь объем, больший по сравнению с евклидовым.

Кривизна Риччи и геометрия в целом

Пусть ${\displaystyle M}$ есть полное ${\displaystyle n}$ -мерное риманово многообразие с ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{M}\geq (n-1)\kappa }$

• Неравенство Бишопа — Громова . Пусть ${\displaystyle p\in M}$ , обозначим через ${\displaystyle v_{p}(r)}$ объём шара радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в ${\displaystyle p}$ , обозначим через ${\displaystyle {\tilde {v}}(r)}$ объём шара радиуса ${\displaystyle r}$ в ${\displaystyle n}$ -мерном пространстве постоянной кривизны ${\displaystyle \kappa }$ . Тогда отношение

  ${\displaystyle {\frac {v_{p}(r)}{{\tilde {v}}(r)}}}$

есть невозрастающая функция от ${\displaystyle r}$ .

• Теорема Мейера
• Из тождества Бохнера для 1-форм следует, что если ${\displaystyle \kappa =1}$ то собственные числа лапласиана на ${\displaystyle M}$ не меньше чем у единичной ${\displaystyle n}$ -мерной сферы.

Приложения тензора Риччи

• Тензор кривизны Риччи в общей теории относительности служит ключевым компонентом уравнений Эйнштейна .

• Кривизна Риччи также появляется в уравнении потока Риччи , в котором зависящая от времени метрика деформируется пропорционально кривизне Риччи со знаком минус.

См. также

• Кривизна римановых многообразий
• Тензор кривизны
• Поток Риччи