Логнорма́льное распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений . Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение .

Определение

Пусть распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ задаётся плотностью вероятности , имеющей вид:

$${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu)^{2}/2\sigma ^{2}},}$$

где ${\displaystyle x>0,\;\sigma >0,\;\mu \in \mathbb {R} }$ . Тогда говорят, что ${\displaystyle X}$ имеет логнормальное распределение с параметрами ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \sigma }$ . Пишут: ${\displaystyle X\sim \mathrm {LogN} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$ .

Моменты

Формула для ${\displaystyle k}$ -го момента логнормальной случайной величины ${\displaystyle X}$ имеет вид:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{k}\right]=e^{k\mu +{\frac {k^{2}\sigma ^{2}}{2}}},\;k\in \mathbb {N} ,}$

откуда в частности:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=e^{\mu +{\sigma ^{2} \over 2}}}$ ,

${\displaystyle \mathrm {D} [X]=\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}$ .

Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формуле:

${\displaystyle \alpha _{n}=e^{(\mu ,n)+{\frac {1}{2}}(n,\Sigma n)}}$ , где ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \Sigma }$ — параметры многомерного совместного распределения. ${\displaystyle n}$ — вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае, ${\displaystyle n=(2,0)}$ — второй нецентральный момент первой компоненты, ${\displaystyle n=(1,1)}$ — смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.

Свойства логнормального распределения

• Если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — независимые логнормальные случайные величины, такие что ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {LogN} (\mu ,\sigma _{i}^{2})}$ , то их произведение также логнормально:

  ${\displaystyle Y=\prod \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {LogN} \left(n\mu ,\sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)}$ .

Связь с другими распределениями

• Если ${\displaystyle X\sim \mathrm {LogN} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$ , то ${\displaystyle Y=\ln(X)\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$ .

И наоборот, если ${\displaystyle Y\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$ , то ${\displaystyle X=\exp(Y)\sim \mathrm {LogN} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$ .

Моделирование логнормальных случайных величин

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера , и вычислить её экспоненту.

Вариации обобщения

Логнормальное распределение является частным случаем так называемого распределения Кэптейна ^{[ источник не указан 2795 дней ]} .

Приложения

Логнормальное распределение удовлетворительно описывает распределение частот частиц по их размерам при случайном дроблении, например, градин в граде и т. д. Однако здесь есть исключения, например, размер астероидов в солнечной системе имеет логарифмическое распределение ^{[ источник не указан 2795 дней ]} .

Литература

• Crow, Edwin L. & Shimizu, Kunio (Editors) (1988), Lognormal Distributions, Theory and Applications , vol. 88, Statistics: Textbooks and Monographs, New York: Marcel Dekker, Inc., с. xvi+387, ISBN 0-8247-7803-0
• Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957) The Lognormal Distribution , Cambridge University Press .
• Limpert, E; Stahel, W; Abbt, M. Lognormal distributions across the sciences: keys and clues (англ.) // (англ.) (: journal. — 2001. — Vol. 51 , no. 5 . — P. 341—352 . — doi : .
• Eric W. Weisstein et al. at MathWorld . Electronic document, retrieved October 26, 2006.
• Holgate, P. The lognormal characteristic function (неопр.) // Communications in Statistics - Theory and Methods. — 1989. — Т. 18 , № 12 . — С. 4539—4548 . — doi : .
• Brooks, Robert; Corson, Jon; (англ.) (. The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion (англ.) // Advances in Futures and Options Research : journal. — 1994. — Vol. 7 .