Производя́щая фу́нкция моме́нтов
— способ задания
вероятностных распределений
. Используется чаще всего для вычисления
моментов
.
Определение
Пусть есть
случайная величина
X
{\displaystyle X}
с
распределением
P
X
{\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}
. Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид:
M
X
(
t
)
=
E
[
e
t
X
]
{\displaystyle M_{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]}
.
Пользуясь формулами для вычисления
математического ожидания
, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:
M
X
(
t
)
=
∫
−
∞
∞
e
t
x
P
X
(
d
x
)
{\displaystyle M_{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,\mathbb {P} ^{X}(dx)}
,
то есть производящая функция моментов — это
двустороннее преобразование Лапласа
плотности распределения случайной величины (с точностью до отражения).
Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины
Если случайная величина
X
{\displaystyle X}
дискретна
, то есть
P
(
X
=
x
i
)
=
p
i
,
i
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\ldots }
, то
M
X
(
t
)
=
∑
i
=
1
∞
e
t
x
i
p
i
{\displaystyle M_{X}(t)=\sum _{i=1}^{\infty }e^{tx_{i}}\,p_{i}}
.
Пример.
Пусть
X
{\displaystyle X}
имеет
распределение Бернулли
. Тогда
M
X
(
t
)
=
e
t
⋅
1
⋅
p
+
e
t
⋅
0
⋅
q
=
p
e
t
+
q
{\displaystyle M_{X}(t)=e^{t\cdot 1}\cdot p+e^{t\cdot 0}\cdot q=pe^{t}+q}
.
Если случайная величина
X
{\displaystyle X}
абсолютно непрерывна
, то есть она имеет
плотность
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
, то
M
X
(
t
)
=
∫
−
∞
∞
e
t
x
f
X
(
x
)
d
x
{\displaystyle M_{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,f_{X}(x)\,dx}
.
Пример.
Пусть
X
∼
U
[
0
,
1
]
{\displaystyle X\sim U[0,1]}
имеет стандартное
непрерывное равномерное распределение
. Тогда
M
X
(
t
)
=
∫
0
1
e
t
x
⋅
1
d
x
=
e
t
x
t
|
0
1
=
e
t
−
1
t
{\displaystyle M_{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{tx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{tx}}{t}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{t}-1}{t}}}
.
Свойства производящих функций моментов
Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам
характеристических функций
в силу похожести их определений.
Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
суть две случайные величины, и
M
X
(
t
)
=
M
Y
(
t
)
,
∀
t
{\displaystyle M_{X}(t)=M_{Y}(t),\;\forall t}
. Тогда
P
X
=
P
Y
{\displaystyle \mathbb {P} ^{X}=\mathbb {P} ^{Y}}
. В частности, если обе величины
абсолютно непрерывны
, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины
дискретны
, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение функций вероятности.
Производящая функция моментов как функция случайной величины однородна:
M
a
X
(
t
)
=
M
X
(
a
t
)
,
∀
a
∈
R
{\displaystyle M_{aX}(t)=M_{X}(at),\;\forall a\in \mathbb {R} }
.
Производящая функция моментов суммы
независимых
случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
есть независимые случайные величины. Обозначим
S
n
=
∑
i
=
1
n
X
i
{\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}
. Тогда
M
S
n
(
t
)
=
∏
i
=
1
n
M
X
i
(
t
)
{\displaystyle M_{S_{n}}(t)=\prod \limits _{i=1}^{n}M_{X_{i}}(t)}
.
Вычисление моментов
E
[
X
n
]
=
d
n
d
t
n
M
X
(
t
)
|
t
=
0
{\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}M_{X}(t)\right\vert _{t=0}}
.
См. также