Пара́бола ( греч. παραβολή — приближение ) — плоская кривая, один из типов конических сечений .

Определение

Античные математики определяли параболу как результат пересечения кругового конуса с плоскостью, которая не проходит через вершину конуса и параллельна его образующей (см. рисунок). В аналитической геометрии удобнее эквивалентное определение: парабола есть геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояние до заданной точки ( фокуса ) равно расстоянию до заданной прямой ( директрисы ) (см. рисунок) .

Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в ломаную .

Наряду с эллипсом и гиперболой , парабола является коническим сечением . Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом .

Вершина

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

Уравнения

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат :

${\displaystyle \textstyle y^{2}=2px,p>0}$ (или ${\displaystyle \textstyle x^{2}=2py}$ , если поменять местами оси координат).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы . Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии ${\displaystyle {\frac {p}{2}}}$ от обоих.

Вывод

Уравнение директрисы PQ: ${\displaystyle \textstyle x+{\frac {p}{2}}=0}$ , фокус F имеет координаты ${\displaystyle \left({\frac {p}{2}};0\right).}$ Таким образом, начало координат O — середина отрезка CF. По определению параболы, для любой точки M, лежащей на ней, выполняется равенство KM = FM . Далее, поскольку ${\displaystyle {\textrm {KM=KD+DM}}={\frac {p}{2}}+x}$ и ${\displaystyle {\textrm {FM}}={\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}}$ , то равенство приобретает вид: ${\displaystyle {\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x.}$ После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение ${\displaystyle y^{2}=2px.}$

Парабола, заданная квадратичной функцией

Квадратичная функция ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ при ${\displaystyle a\neq 0}$ также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и ${\displaystyle y=ax^{2},}$ но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

${\displaystyle x_{\textrm {A}}=-{\dfrac {b}{2a}},\;y_{\textrm {A}}=-{\dfrac {\mathcal {D}}{4a}},}$ где ${\displaystyle {\mathcal {D}}=b^{2}-4ac}$ — дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 ( a < 0 ) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4 a , а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ может быть представлено в виде ${\displaystyle y=a(x-x_{\textrm {A}})^{2}+y_{\textrm {A}},}$ а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом ${\displaystyle p={\frac {1}{|2a|}}.}$

Общее уравнение параболы

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.}$

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант ${\displaystyle B^{2}-4AC}$ равен нулю.

Уравнение в полярной системе

Парабола в полярной системе координат ${\displaystyle (\rho ,\vartheta )}$ с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением

${\displaystyle \rho (1+\cos \vartheta )=p,}$

где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

Расчёт коэффициентов квадратичной функции

Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ известны координаты трёх различных точек параболы ${\displaystyle (x_{1};y_{1}),\;(x_{2};y_{2}),\;(x_{3};y_{3}),}$ то его коэффициенты могут быть найдены так:

${\displaystyle a={\frac {y_{3}-{\tfrac {x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}},\ \ b={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-a(x_{1}+x_{2}),\ \ c={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}+ax_{1}x_{2}.}$

Если же заданы вершина ${\displaystyle (x_{0};y_{0})}$ и старший коэффициент ${\displaystyle a}$ , то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:

${\displaystyle b=-2ax_{0}}$

${\displaystyle c=ax_{0}^{2}+y_{0}}$

${\displaystyle x_{1}=x_{0}+{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}}$

${\displaystyle x_{2}=x_{0}-{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}}$

Свойства

• Парабола — кривая второго порядка .
• Она имеет ось симметрии , называемой осью параболы . Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
• Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. Сигнал также придет в одной фазе, что важно для антенн.
• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе .
• Множество всех точек, из которых парабола видна под прямым углом, есть директриса.
• Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
• Парабола является антиподерой прямой .
• Все параболы подобны . Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
• Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть Цепная линия .
• Описанная окружность треугольника, описанного около параболы, проходит через её фокус, а точка пересечения высот лежит на её директрисе

Связанные определения

• При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид .

Вариации и обобщения

Графики степенной функции ${\displaystyle y=x^{n}}$ при натуральном показателе ${\displaystyle n>1}$ называются параболами порядка ${\displaystyle n}$ . Ранее рассмотренное определение соответствует ${\displaystyle n=2,}$ то есть параболе 2-го порядка.

Парабола также представляет собой синусоидальную спираль при ${\displaystyle \textstyle n=-{\frac {1}{2}}}$ ;

Параболы в физическом пространстве

Траектории некоторых космических тел ( комет , астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта ( звезды или планеты ) на достаточно большой скорости , имеют форму параболы (или гиперболы ). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер ).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассегрена, Шмидта — Кассегрена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных ( спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

• 
  Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)
• 
  Падение баскетбольного мяча
• 
  Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии , США
• 
  Параболические траектории струй воды
• 
  Вращающийся сосуд с жидкостью
• 
  Парабола — антиподера прямой

Примечания

Литература

• Акопян А. А., Заславский А. В. . — М. : МЦНМО, 2007. — 136 с.
• Бронштейн И. // Квант . — 1975. — № 4 . — С. 9—16 .
• Маркушевич А. И. . — Гостехиздат , 1952. — 32 с. — ( Популярные лекции по математике , выпуск 4).
• Парабола // Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1984. — Т. 4. — С. 191—192. — 1216 с.

Ссылки

• в справочнике «Прикладная математика».
• , иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
• ( англ. ) о связи параболы с физикой.