Механика сплошных сред
Сплошная среда
Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса
Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость
Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение
Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнение Громеки — Лэмба · Уравнение Бернулли · Интеграл Коши — Лагранжа · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение вихря · Уравнение диффузии · Закон Гука
См. также: Портал:Физика

Закон Дарси ( Анри Дарси , 1856) — закон фильтрации жидкостей и газов в пористой среде . Исторически закон был получен А.Дарси экспериментально , но может быть получен с помощью осреднения уравнений Навье – Стокса , описывающих течение в масштабе пор (в настоящее время имеются доказательства для пористых сред с периодической и случайной микроструктурой). Выражает зависимость скорости фильтрации флюида от градиента напора :

${\displaystyle {\vec {u}}=-k{\vec {I}},}$

где: ${\displaystyle {\vec {u}}}$ — скорость фильтрации, ${\displaystyle k}$ — коэффициент фильтрации, ${\displaystyle {\vec {I}}}$ — градиент напора .

В теоретической гидродинамике

В фундаментальной механике сплошных сред при изучении течений жидкостей и газов в пористой среде широко применяется дифференциальная форма закона Дарси (здесь приведён для движения в поле тяжести ):

${\displaystyle {\vec {u}}=-{\frac {K}{\eta }}\nabla \left(\rho gz+P\right),}$

где ${\displaystyle P}$ — внешнее давление, ${\displaystyle \rho }$ — плотность флюида, ${\displaystyle \eta }$ — его динамическая вязкость , ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения , ${\displaystyle z}$ — вертикальная координата, ${\displaystyle K}$ — коэффициент проницаемости.

Уравнение баланса сил

Закон Дарси можно представить в виде уравнения баланса сил :

${\displaystyle -\nabla P-{\frac {\eta }{K}}{\vec {u}}+\rho {\vec {f}}=0,}$

где ${\displaystyle {\vec {f}}}$ — поле внешних сил, ${\displaystyle \eta }$ — динамическая вязкость жидкости или газа, ${\displaystyle K=\eta k/\rho g}$ — коэффициент проницаемости . Коэффициент проницаемости характеризует способность пористой среды к пропусканию флюида.

Полная система уравнений фильтрации несжимаемой жидкости также включает условие несжимаемости :

${\displaystyle -\nabla P-{\frac {\eta }{K}}{\vec {u}}+\rho {\vec {f}}=0,}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {u}}=0.}$

Необходимым граничным условием для данной модели на твёрдых поверхностях является только условие непроницаемости.

Потенциальная форма закона

При постоянном коэффициенте проницаемости поле скорости фильтрации имеет скалярный потенциал , что позволяет переписать систему уравнений фильтрации в форме уравнения Лапласа :

${\displaystyle {\vec {u}}=-k\nabla h,\quad \Rightarrow \quad \exists \quad \Phi =kh,}$

где ${\displaystyle h}$ — напор.

Уравнение Лапласа с граничным условием вытекает из условия несжимаемости:

${\displaystyle \Delta \Phi =0,}$

${\displaystyle \left.{\frac {\partial \Phi }{\partial n}}\right|_{S}=\left.\left({\vec {n}}\cdot \nabla \Phi \right)\right|_{S}=0,}$

где ${\displaystyle {\vec {n}}}$ — вектор нормали к поверхности. Граничным условием на твёрдых поверхностях является условие равенства нулю нормальной компоненты градиента ${\displaystyle \Phi }$ .

В принципе, во всех приведённых выше уравнениях поле массовых сил и градиента давления могут быть объединены, что сведётся к простой перенормировке давления.

Область применимости закона Дарси

Закон Дарси примени́м для фильтрации жидкостей, подчиняющихся закону вязкого трения Ньютона (закону Навье — Стокса). Для фильтрации неньютоновских жидкостей (например, некоторых нефтей ) связь между градиентом давления и скоростью фильтрации может быть нелинейной или вообще неалгебраической (например, дифференциальной).

Для ньютоновских жидкостей область применения закона Дарси ограничивается малыми скоростями фильтрации ( числа Рейнольдса , рассчитанные по характерному размеру пор, меньше или порядка единицы). При бо́льших скоростях зависимость между градиентом давления и скоростью фильтрации нелинейна (хорошее совпадение с экспериментальными данными даёт квадратичная зависимость — закон фильтрации Форхгеймера).

Единицы измерения

Единицей проницаемости в СИ является квадратный метр . В практических приложениях в качестве единицы часто используется дарси (1 Д ≈ 10 ^-12 м²).

Примечания

Ссылки

• .

См. также

• Дарси — единица измерения проницаемости .
• Пористость
• Закон Бернулли