Interested Article - Бином Ньютона

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}={\binom {n}{0}}a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+\dots +{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}+\dots +{\binom {n}{n}}b^{n},

где ${\binom {n}{k}}\equiv C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ — биномиальные коэффициенты , $n$ — неотрицательное целое число .

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа ). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд .

Примеры:

{\begin{aligned}(x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\(x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\(x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\(x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\end{aligned}}

Для быстрого разложения часто пользуются треугольником Паскаля .

Доказательство

Чтобы умножить скобки, нужно взять из каждой по одному слагаемому и все полученные произведения сложить. Для получения степени $a^{k}b^{n-k}$ нужно из $k$ скобок выбрать $a$ , а из оставшихся $n-k$ выбрать $b$ . Вариантов выбрать $a$ в первый раз столько же, сколько и скобок, то есть $n$ . Затем, соответственно, $n-1$ , и так далее до $n-k+1$ на $k$ -м шаге. Однако для каждого варианта посчитаются и все его порядковые перестановки, число которых $k!$ . Нормируя, получаем в точности $C_{n}^{k}$ . Ниже приводится доказательство по индукции.

Доказательство

Докажем формулу бинома Ньютона индукцией по $n$ :

База индукции: $n=0$

(a+b)^{0}=1={\binom {0}{0}}a^{0}b^{0}

Шаг индукции: Пусть утверждение для $n$ верно:

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}

Тогда надо доказать утверждение для $n+1$ :

(a+b)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{{n+1} \choose k}a^{n+1-k}b^{k}

Начнём доказательство:

(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{a^{n-k+1}b^{k}}\quad +\quad \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}

Извлечём из первой суммы слагаемое при $k=0$

\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{a^{n-k+1}b^{k}}=a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k+1}b^{k}

Извлечём из второй суммы слагаемое при $k=n$

\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose {k-1}}a^{n-k+1}b^{k}

Теперь сложим преобразованные суммы:

a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k+1}b^{k}\quad +\quad b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose {k-1}}a^{n-k+1}b^{k}=a^{n+1}+b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left({n \choose k}+{n \choose {k-1}}\right)a^{n-k+1}b^{k}=

=\sum _{k=0}^{0}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}\quad +\quad \sum _{k=n+1}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}\quad +\quad \sum _{k=1}^{n}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}=\sum _{k=0}^{n+1}{{n+1} \choose k}a^{n+1-k}b^{k}

Что и требовалось доказать. ■

Обобщения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции $(1+x)^{r}$ в ряд Тейлора :

(1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{k},

где $r$ может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле

{\binom {r}{k}}={\frac {1}{k!}}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}.

При этом ряд

(1+z)^{\alpha }=1+\alpha z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+\ldots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+\ldots

сходится при $|z|\leqslant 1$ .

В частности, при $z={\frac {1}{m}}$ и $\alpha =x\cdot m$ получается тождество

\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2m^{2}}}+\ldots +{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\,m^{n}}}+\ldots .

Переходя к пределу при $m\to \infty$ и используя второй замечательный предел $\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=e$ , выводим тождество

e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\ldots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\ldots ,

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером .

Мультиномиальная теорема

Бином Ньютона может быть обобщён до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{m})^{n}=\sum \limits _{k_{j}\geqslant 0 \atop k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}\ldots x_{m}^{k_{m}},

где

{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\ldots k_{m}!}}

суть Мультиномиальные коэффициенты . Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам $k_{j}$ , сумма которых равна $n$ (то есть по всем композициям числа $n$ длины $m$ ). При использовании полинома Ньютона считается , что выражения $x_{j}^{0}=1$ , даже если $x_{j}=0$ .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по $m$ , либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла полиномиального коэффициента.

При $m=2$ , выражая $k_{2}=n-k_{1}$ , получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

Пусть $B_{n}(a_{s})=B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n})$ и $B_{0}=1$ , тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

B_{n}(a_{s}+b_{s})=\sum _{i+j=n}{\binom {n}{i,j}}B_{i}(a_{s})B_{j}(b_{s}).

История

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник , позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль , описавший её в XVII веке . Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю , жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер , выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически) . Например, в романе « Мастер и Маргарита » М. А. Булгакова : «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ , в четвёртой палате».

В повести « Последнее дело Холмса » Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти , в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»