Теорема о распределении простых чисел
— теорема
аналитической теории чисел
, описывающая асимптотику распределения
простых чисел
, которая утверждает, что
функция распределения простых чисел
(количество простых чисел на отрезке
) растёт с увеличением
как
, то есть:
-
, когда
Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до
вероятность оказаться простым примерно равна
.
Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения
-го простого числа
: она утверждает, что
-
(здесь и далее запись
означает, что
когда аргумент функций стремится к бесконечности).
Более точно распределение простых чисел описывает функция
интегрального логарифма
. При справедливости
гипотезы Римана
верно
-
при
История
Первым статистическую закономерность в расположении простых чисел подметил
Гаусс
. В письме
Энке
(1849) он сообщил, что ещё в 1792 или 1793 году, чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму»
. К этому времени, основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и
Вегой
,
Лежандр
предположил (в 1796 году), что
функция распределения простых чисел
(число простых чисел, не превосходящих
x
) может быть приближена выражением:
-
где
Гаусс в упомянутом письме критикует формулу Лежандра и, используя эвристические рассуждения, предлагает другую приближающую функцию —
интегральный логарифм
:
-
Однако Гаусс нигде не опубликовал эту гипотезу. Оба приближения, как Лежандра, так и Гаусса, приводят к одной и той же предполагаемой асимптотической эквивалентности функций
и
, указанной выше, хотя приближение Гаусса и оказывается существенно лучше, если при оценке ошибки рассматривать разность функций вместо их отношения.
В двух своих работах,
1848
и
1850 года
,
Чебышёв
доказывает
, что
верхний
M и
нижний
m пределы отношения
-
|
(1)
|
заключены в пределах
, а также, что
если
предел отношения (1) существует, то он равен 1. Позднее (1881)
Дж. Дж. Сильвестр
сузил допустимый интервал для предела с 10% до 4%.
В
1859 году
появляется работа
Римана
, рассматривающая (введённую
Эйлером
как функцию вещественного аргумента)
ζ
-функцию
в комплексной области, и связывающая её поведение с распределением простых чисел. Развивая идеи этой работы, в
1896 году
Адамар
и
де ла Валле Пуссен
одновременно и независимо доказывают теорему о распределении простых чисел.
Наконец, в
1949 году
появляется не использующее комплексный анализ доказательство
Эрдеша
—
Сельберга
.
Общий ход доказательства
Переформулировка в терминах пси-функции Чебышёва
Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка закона распределения простых чисел в терминах
пси-функции Чебышёва
, определяемой как
-
иными словами, пси-функция Чебышёва это
сумма
функции Мангольдта
:
-
А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простых чисел равносилен тому, что
-
|
Это происходит из-за того, что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка
, а вклад квадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтому практически все складываемые логарифмы
примерно равны
, и функция
асимптотически ведёт себя так же, как
.
Классические рассуждения: переход к дзета-функции Римана
Как следует из
тождества Эйлера
,
-
ряд Дирихле
(«производящая функция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минус логарифмической производной дзета-функции:
-
Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, от функции
равен
при
и 0 при
. Поэтому, умножение правой и левой части на
и (аккуратное — несобственные интегралы сходится только условно!) интегрирование по вертикальной прямой по
оставляет в левой части в точности сумму
с
. С другой стороны, применение
теоремы о вычетах
позволяет записать левую часть в виде суммы вычетов; каждому нулю дзета-функции соответствует полюс первого порядка её логарифмической производной, с вычетом, равным 1, а полюсу первого порядка в точке
— полюс первого порядка с вычетом, равным
.
Строгая реализация этой программы позволяет получить
:
-
Суммирование тут ведётся по нулям
дзета-функции, лежащим в
, слагаемое
отвечает полюсу
в нуле, а слагаемое
— так называемым «тривиальным» нулям дзета-функции
.
Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы и влечёт за собой искомое утверждение
(сумма в формуле (**) будет расти медленнее, чем
). Кроме того,
гипотеза Римана
влечёт за собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения
от
, и, соответственно, на отклонения
от
.
Элементарное доказательство: завершение Эрдеша-Сельберга
Основная теорема арифметики
, записывающаяся после логарифмирования как
-
тем самым формулируется в терминах
арифметических функций
и
свёртки Дирихле
как
-
где
и
— арифметические функции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.
Формула
обращения Мёбиуса
позволяет перенести
в правую часть:
-
где
— функция Мёбиуса.
Сумма
левой части (**) — искомая функция
. В правой части, применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки к сумме
где
— сумма логарифма. Применение
формулы Эйлера-Маклорена
позволяет записать
как
-
где
—
постоянная Эйлера
. Выделяя из этого выражения слагаемые, имеющие вид
для подходящим образом подобранной функции
F
(а именно,
), и обозначая через
R
остаток, имеем в силу обращения Мёбиуса
-
Поскольку
остаётся проверить, что второе слагаемое имеет вид
. Применение
позволяет свести эту задачу к проверке утверждения
где
—
функция Мертенса
, сумма функции Мёбиуса.
Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулы обращения, применённой к функции
.
Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (с мультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальному уравнению» первого порядка
-
где
— дифференцирование в этой алгебре (переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцирование функции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка
-
«Усредение» этого уравнения и то, что асимптотика суммы функции
оценивается лучше асимптотики сумм
, позволяет оценивать отношение
через средние значения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью по подпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку
.
См. также
Примечания
-
-
, с. 178-179..
-
Ахиезер Н. И.
П. Л. Чебышёв и его научное наследие.
-
(неопр.)
. Дата обращения: 15 ноября 2009.
7 июля 2010 года.
-
Weisstein, Eric W.
(англ.)
на сайте Wolfram
MathWorld
.
Литература
Классические труды
-
Jacques Hadamard
.
.
Bull. Soc. Math. France
, № 24 (1896), 199—220.
-
Charles de la Vallée Poussin
. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers.
Ann. Soc. Sci. Bruxells
, 1897.
-
Чебышёв П. Л.
Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины, 1848.
-
Чебышёв П. Л.
О простых числах, 1850.
-
Bernhard Riemann.
// Monatsberichte der Berliner Akademie. — 1859.
Современная литература
-
Дербишир, Джон.
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. —
ISBN 978-5-271-25422-2
.
-
Диамонд Г.
,
УМН
, 45:2(272) (1990), 79-114.
-
Постников А. Г., Романов Н. П.
,
УМН
, 10:4(66) (1955), с. 75-87
-
Erdős, P.
Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
-
Selberg, A.
An Elementary Proof of the Prime Number Theorem, Ann. Math. 50, 305—313, 1949.
Ссылки
-
Weisstein, Eric W.
(англ.)
на сайте Wolfram
MathWorld
.
Ссылки на внешние ресурсы
|
|
|
Словари и энциклопедии
|
|