Interested Article - Константа простых чисел

Константа простых чисел — это вещественное число $\rho$ $\rho$ , $n$ $n$ -ая двоичная цифра которого равна 1, если $n$ $n$ является простым , и 0, если n является составным или 1.

Другими словами, $\rho$ $\rho$ является просто числом, двоичное разложение которого соответствует индикаторной функции множества простых чисел . То есть

\rho =\sum _{p}{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}

\rho =\sum _{p}{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}

где $p$ $p$ означает простое число, а $\chi _{\mathbb {P} }$ $\chi _{\mathbb {P} }$ является характеристической функцией простых чисел.

Начальные знаки десятичного представления числа ρ : $\rho =0{,}414682509851111660248109622\ldots$ $\rho =0{,}414682509851111660248109622\ldots$ (последовательность в OEIS )

Начальные знаки двоичного представления: $\rho =0{,}011010100010100010100010000\ldots _{2}$ $\rho =0{,}011010100010100010100010000\ldots _{2}$ (последовательность в OEIS )

Иррациональность

Легко показать, что число $\rho$ $\rho$ иррационально . Чтобы увидеть это, предположим, что оно рационально.

Обозначим $k$ $k$ -й знак двоичного представления $\rho$ $\rho$ через $r_{k}$ $r_{k}$ . Тогда, поскольку $\rho$ $\rho$ по предположению рационально, должны существовать положительные числа $N$ $N$ и $k$ $k$ , такие, что $r_{n}=r_{n+ik}$ $r_{n}=r_{n+ik}$ для всех $n>N$ $n>N$ и всех $i\in \mathbb {N}$ $i\in \mathbb {N}$ .

Поскольку простых чисел бесконечно много, мы можем выбрать простое $p>N$ $p>N$ . По определению мы знаем, что $r_{p}=1$ $r_{p}=1$ . Как было указано выше, должно выполняться $r_{p}=r_{p+ik}$ $r_{p}=r_{p+ik}$ для любого $i\in \mathbb {N}$ $i\in \mathbb {N}$ . Рассмотрим случай $i=p$ $i=p$ . Мы имеем $r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0$ $r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0$ , поскольку $p(k+1)$ $p(k+1)$ составное, так как $k+1\geq 2$ $k+1\geq 2$ . Поскольку $r_{p}\neq r_{p(k+1)}$ $r_{p}\neq r_{p(k+1)}$ , мы должны констатировать, что $\rho$ $\rho$ иррационально.