Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований ${\displaystyle n}$ -мерного векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle k}$ , сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму ${\displaystyle Q}$ на ${\displaystyle V}$ (то есть таких линейных преобразований ${\displaystyle \varphi }$ , что ${\displaystyle Q(\varphi (v))=Q(v)}$ для любого ${\displaystyle v\in V}$ ) .

Обозначения и связанные определения

• Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно ${\displaystyle Q}$ ) преобразованиями ${\displaystyle V}$ , а также автоморфизмами формы ${\displaystyle Q}$ (точнее, автоморфизмами пространства ${\displaystyle V}$ относительно формы ${\displaystyle Q}$ ) .
• Обозначается ${\displaystyle O_{n}}$ , ${\displaystyle O_{n}(k)}$ , ${\displaystyle O_{n}(Q)}$ и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей .
• Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой ( ${\displaystyle l}$ плюсов, ${\displaystyle m}$ минусов) где ${\displaystyle n=l+m}$ , обозначается ${\displaystyle O(l,m)}$ , см. напр. O(1,3) .

Свойства

• В случае, если характеристика основного поля не равна двум , то с ${\displaystyle Q}$ связана невырожденная симметрическая билинейная форма ${\displaystyle F}$ на ${\displaystyle V}$ , определенная формулой

  ${\displaystyle F(u,\;v)={\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{2}}.}$

Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства ${\displaystyle V}$ , которые сохраняют ${\displaystyle F}$ , и обозначается через ${\displaystyle O_{n}(k,\;F)}$ или (когда ясно о каком поле ${\displaystyle k}$ и форме ${\displaystyle F}$ идёт речь) просто через ${\displaystyle O_{n}}$ .

• Если ${\displaystyle B}$ — матрица формы ${\displaystyle F}$ в неком базисе пространства ${\displaystyle V}$ , то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц ${\displaystyle A}$ с коэффициентами в ${\displaystyle k}$ , что ${\displaystyle A^{T}BA=B}$ .

В частности, если базис таков, что ${\displaystyle Q}$ является суммой квадратов координат (то есть, матрица ${\displaystyle B}$ единична), то такие матрицы ${\displaystyle A}$ называются ортогональными .

• Над полем вещественных чисел , группа ${\displaystyle O_{n}({\mathbb {R} },\;V)}$ компактна тогда и только тогда, когда форма ${\displaystyle Q}$ знакоопределена .
  • В этом случае любой элемент из ${\displaystyle O_{n}({\mathbb {R} })}$ , для подходящего базиса представляется как блочно-диагональная матрица

    ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}}}$

где R ₁ , ..., R _k — 2х2 матрицы поворотов; теорема вращения Эйлера является частным случем этого утверждения.

Другие группы

Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL( ${\displaystyle n}$ ). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса ), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу ${\displaystyle SO(n,Q)}$ , обозначаемую так же, как и ортогональная группа, но с добавлением буквы «S». ${\displaystyle SO(n,Q)}$ , по построению, является также подгруппой специальной линейной группы ${\displaystyle SL(n)}$ .

См. также

• SO(8)

Примечания

Источники

• Попов В. Л. Ортогональная группа // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 81—84.

Ссылки