Гру́ппа Ло́ренца — группа преобразований Лоренца пространства Минковского , сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами ) .

Группа Лоренца состоит из однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени:

${\displaystyle x_{\nu }'=\sum _{\mu }L_{\nu \mu }x_{\mu },}$

${\displaystyle x_{0}=ct,\quad x_{1}=x,\quad x_{2}=y,\quad x_{3}=z,}$

которые оставляют инвариантной квадратичную форму с сигнатурой (1, 3), которая является математическим выражением четырёхмерного интервала ${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$ . В частности, группа Лоренца включает пространственные повороты в трёх плоскостях ${\displaystyle xy,\ yz,\ zx}$ , лоренцевы преобразования ${\displaystyle xt,\ yt,\ zt}$ , отражения пространственных осей ${\displaystyle x,y,z}$ : ${\displaystyle x\to -x,\ y\to -y,\ z\to -z}$ и все их произведения.

Группа Лоренца — частный случай неопределённой ортогональной группы , и поэтому обозначается ${\displaystyle O(1,3)}$ (либо ${\displaystyle O(3,1)}$ , что соответствует квадратичной форме с противоположными знаками и переставленными координатами), ${\displaystyle O(1,3;\mathbb {R} )}$ или ${\displaystyle \mathrm {O} _{1,3}(\mathbb {R} )}$ , а также ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ .

Специальная группа Лоренца или собственная группа Лоренца ${\displaystyle SO(1,3)}$ — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен ±1).

Ортохронная группа Лоренца ${\displaystyle O_{\uparrow }(1,3)}$ (также обозначается ${\displaystyle \mathrm {O} _{1,3}^{+}(\mathbb {R} )}$ , и она может быть отождествлена с ${\displaystyle \mathrm {PO} _{1,3}(\mathbb {R} )}$ ), специальная (или собственная) ортохронная группа Лоренца ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,3)}$ — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени ( знак координаты ${\displaystyle x^{0}}$ ). Группа ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,3)}$ , единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса .

Иногда условие ортохронности включают в определение группы Лоренца, в этом случае группа, включающая преобразования, которые меняют направление времени, может называться общей группой Лоренца . Иногда также под группой Лоренца подразумевают собственную ортохронную группу Лоренца .

Представления группы Лоренца

Пусть физическая величина (например, четырёхмерный вектор энергии-импульса или потенциал электромагнитного поля) описывается многокомпонентной функцией координат ${\displaystyle U_{\alpha }(x)}$ . При переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты физической величины линейно преобразуются друг через друга: ${\displaystyle u_{\beta }'=\sum _{\alpha }\Lambda _{\beta \alpha }u_{\alpha }(x)}$ . При этом матрица ${\displaystyle \Lambda }$ имеет ранг ${\displaystyle \nu }$ , равный числу компонент величины ${\displaystyle u_{\alpha }}$ . Каждому элементу группы Лоренца ${\displaystyle P}$ соответствует линейное преобразование ${\displaystyle \Lambda (P)}$ , единичному элементу группы Лоренца (тождественному преобразованию) соответствует единичное преобразование ${\displaystyle \Lambda =1}$ , а произведению двух элементов группы Лоренца ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ соответствует произведение двух преобразований ${\displaystyle \Lambda (P_{1}P_{2})=\Lambda (P_{1})\Lambda (P_{2})}$ . Систему матриц с перечисленными свойствами называют линейным представлением группы Лоренца.

Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики, так как связаны с понятием спина . Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,3)}$ можно построить при помощи спиноров .

Примечания

Литература

• Гельфанд И. М. , Минлос Р. А. , Шапиро З. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. — М. : Физматгиз, 1958. — 367 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П. , Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. — М. : Наука, 1986. — 760 с.
• Любарский Г. Я. Теория групп и её применение в физике. — М. : Физматгиз, 1958. — 355 с.
• Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца. — М. : Физматгиз, 1958. — 376 с.
• Исаев А. П., Рубаков В. А. Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. — М. : УРСС, 2018. — 491 с.
• Фёдоров Ф. И. Группа Лоренца. — М. : Наука, 1979. — 384 с. (Излагается векторная параметризация группы Лоренца и её применение)
• Artin, Emil. (англ.) . — New York: Wiley, 1957. . See Chapter III for the orthogonal groups O(p, q).
• Carmeli, Moshe. Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field (англ.) . — McGraw-Hill, New York, 1977. . A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
• Frankel, Theodore. The Geometry of Physics (2nd Ed.) (англ.) . — Cambridge: Cambridge University Press , 2004. . An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
• Fulton, William; & Harris, Joe. Representation Theory: a First Course (англ.) . — New York: Springer-Verlag , 1991. . See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2, C ).
• Hall, G. S. Symmetries and Curvature Structure in General Relativity (англ.) . — Singapore: World Scientific , 2004. . See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
• Hatcher, Allen. Algebraic topology (англ.) . — Cambridge: Cambridge University Press , 2002. . See also the (неопр.) . Дата обращения: 3 июля 2005. 20 февраля 2012 года. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
• Naber, Gregory. The Geometry of Minkowski Spacetime (англ.) . — New York: Springer , 2012. — ISBN 978-1-4419-7838-7 . . An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
• Needham, Tristam. (англ.) . — Oxford: Oxford University Press , 1997. . See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.
• Ширков Д. В. Физика микромира. — М. : Советская энциклопедия, 1980. — 527 с.

См. также

• Прецессия Томаса
• Группа Пуанкаре

В другом языковом разделе есть более полная статья (англ.) . Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода