Теория функций вещественной переменной ( ТФВП , или теория функций действительного переменного , ТФДП ) — раздел математического анализа , изучающий вопросы представления и приближения функций , их локальные и глобальные свойства. При этом, в отличие от классического дифференциального и интегрального исчисления, ТФВП опирается на теорию множеств и теорию меры , широко использует их понятия и методы, что позволило значительно обобщить классические результаты, дать им строгое обоснование и получить новые результаты .

Классический анализ XVII—XIX веков в основном ограничивался исследованием гладких или кусочно-гладких функций . Во второй половине XIX века выяснилось, что практический интерес представляют и более общие классы функций; выяснилось также, что казавшиеся интуитивно очевидными такие понятия, как непрерывность , длина кривой или площадь поверхности , требуют более строгого определения . Проблема была решена с появлением меры Лебега и теоретико-множественного подхода к понятию функции как бинарному отношению . Новый фундамент анализа позволил сохранить все накопленные ранее знания (хотя часть формулировок пришлось уточнить) и доказать ряд новых глубоких теорем, таких как лемма Гейне — Бореля , теорема Асколи — Арцела , теорема Вейерштрасса — Стоуна , лемма Фату , теорема Лебега о мажорируемой сходимости и многие другие.

ТФВП тесно связана с такими разделами математики, как геометрия , линейная алгебра , функциональный анализ , топология и др.

Состав ТФВП

В состав ТФВП входят различные подразделы, среди которых как основные можно выделить три :

1. Дескриптивная теория функций. В ней изучаются общие свойства классов функций, полученных в результате предельных переходов . В этом подразделе, в частности, были открыты классы функций Бэра , тесно связанные с классификацией борелевских множеств .
2. Метрическая теория функций. Она изучает свойства функций на основе понятия лебеговой меры множества (введённой Анри Лебегом в 1902 году) и теории интеграла Лебега . Кроме функций, здесь изучаются свойства производных , интегралов, функциональных рядов , строится общая теорию суммирования рядов и последовательностей . Место гладких функций заняли гораздо более широкие классы измеримых , суммируемых и обобщённых функций .
3. Теория приближения функций (например, многочленами ) .

См. также

• Теория функций комплексной переменной
• Функциональный анализ

Примечания

Литература

• Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — 3-е изд. — М. : Наука, 1974. — 484 с.
• Теория функций действительного переменного // Математика, её содержание, методы и значение (в трёх томах), глава XV. — М. : АН СССР, 1956. — Т. 3. — 336 с.
• Фролов Н. А. Теория функций действительного переменного. — 2-е изд. — М. : Учпедгиз, 1961. — 172 с.
• Функций действительного переменного теория // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1985. — Т. 5.

Ссылки

• Погребной В. Д. (неопр.) . (недоступная ссылка)
• // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов . — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• (неопр.) . Энциклопедия Кругосвет . Дата обращения: 21 декабря 2020.