Группа восьми (художественная группа)
- 1 year ago
- 0
- 0
Проективная группа — группа преобразований проективного пространства , индуцируемых линейными преобразованиями соответствующего векторного пространства. Её элементы называются проективными преобразованиями — они обобщают проективные преобразования проективной плоскости . С матричной точки зрения проективная группа — это группа всех невырожденных матриц с точностью до скалярных матриц .
Пусть — векторное пространство над полем (или, более обще, над телом ), а — его полная линейная группа , то есть группа всех обратимых линейных преобразований. Эта группа коммутирует с гомотетиями пространства (умножениями на ненулевые константы поля ), а потому её элементы индуцируют преобразования проективного пространства (факторпространство по действию группы ).
Некоторые из них индуцированных преобразований действуют на тривиально — это в точности элементы группы гомотетий пространства . Проективная группа — это факторгруппа по ядру действия:
Если в пространстве явным образом выбрать координаты, то есть изоморфизм для натурального , получится
то есть проективная группа является факторгруппой группы невырожденных матриц по подгруппе ненулевых скалярных матриц.
Если вместо полной линейной группы взять специальную линейную группу , то есть ограничиться линейными преобразованиями с определителем 1, то получится проективная специальная линейная группа , также называемая унимодулярной проективной группой .