Действие группы на некотором множестве — это гомоморфное сопоставление каждому элементу группы некоторого преобразования этого множества. В случае, когда множество наделено некоторой дополнительной структурой , предполагается, что преобразования сохраняют эту структуру . Действия групп позволяют изучать симметрии математических объектов с помощью аппарата теории групп .

Если группа действует на некотором объекте или структуре, она обычно действует и на связанных с ними объектах. Так, группа движений евклидова пространства действует как на этом пространстве, так и на фигурах, изображенных в нём. Например, она действует на множестве всех треугольников. Кроме того, группа симметрий некоторого многогранника действует на множествах его вершин , рёбер и граней .

В случае действий на топологических пространствах все отображения предполагаются гомеоморфизмами . Такие действия часто называются непрерывными .

Действия групп на векторных пространствах называются их линейными представлениями . В случае конечномерных векторных пространств они позволяют отождествить многие группы с подгруппами полной линейной группы ${\displaystyle {\rm {GL}}_{n}(K)}$ , то есть группы обратимых матриц размера ${\displaystyle n\times n}$ над некоторым полем ${\displaystyle K}$ .

Определения

Действие слева

Говорят, что группа ${\displaystyle G}$ действует слева на множестве ${\displaystyle M}$ , если задан гомоморфизм ${\displaystyle \Phi \colon G\to S(M)}$ из группы ${\displaystyle G}$ в симметрическую группу ${\displaystyle S(M)}$ множества ${\displaystyle M}$ . Для краткости ${\displaystyle (\Phi (g))(m)}$ часто записывают как ${\displaystyle g(m)}$ , ${\displaystyle g\cdot m}$ , ${\displaystyle g{.}m}$ или ${\displaystyle gm}$ . Элементы группы ${\displaystyle G}$ называются в этом случае преобразованиями , а сама группа ${\displaystyle G}$ — группой преобразований множества ${\displaystyle M}$ . Тот факт, что сопоставление ${\displaystyle \Phi }$ является гомоморфизмом, означает то, что произведению элементов в группе соответствует композиция преобразований, а нейтральному элементу группы соответствует тождественное преобразование .

Другими словами, группа ${\displaystyle (G,\ast)}$ действует слева на множестве ${\displaystyle M}$ , если задано такое отображение ${\displaystyle G\times M\to M}$ , при котором образ пары ${\displaystyle (g,m)}$ обозначается ${\displaystyle g(m)}$ , что:

1. ${\displaystyle (g\ast h)(m)=g(h(m))}$ для всех ${\displaystyle g,h\in G}$ и ${\displaystyle m\in M}$ ;
2. ${\displaystyle e(m)=m}$ , где ${\displaystyle e}$ — нейтральный элемент группы ${\displaystyle G}$ .

Действие справа

Аналогично, правое действие группы ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle M}$ задаётся таким отображением ${\displaystyle M\times G\to M}$ , при котором образ пары ${\displaystyle (m,g)}$ обозначается ${\displaystyle (m)g}$ , что:

1. ${\displaystyle (m)(g\ast h)=((m)g)h}$ ;
2. ${\displaystyle (m)e=m}$ .

Другими словами, правое действие группы ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle M}$ задаётся гомоморфизмом ${\displaystyle \rho :G^{op}\to S(M)}$ , где ${\displaystyle G^{op}}$ — инверсная группа группы ${\displaystyle G}$ . Или, что то же самое, левым действием группы ${\displaystyle G^{op}}$ на ${\displaystyle M}$ .

Разница между левыми и правыми действиями состоит в порядке, в котором произведение ${\displaystyle gh}$ действует на данном элементе. В левом действии сначала действует ${\displaystyle h}$ , затем ${\displaystyle g}$ . А в правом действии сначала действует ${\displaystyle g}$ , затем ${\displaystyle h}$ .

Благодаря формуле ${\displaystyle (gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}}$ , отображение ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$ осуществляет изоморфизм между инверсной группой и исходной, который позволяет, путём взятия композиции с ним, построить взаимно однозначное соответствие между левыми и правыми действиями группы.

Таким образом, для установления общих свойств действий групп достаточно рассматривать только левые действия.

Типы действий

• Свободное , если для любых различных ${\displaystyle g,\;h\in G}$ и любого ${\displaystyle m\in M}$ выполняется ${\displaystyle gm\neq hm}$ .
• Транзитивное , если для любых ${\displaystyle m,\;n\in M}$ существует ${\displaystyle g\in G}$ такой, что ${\displaystyle gm=n}$ . Другими словами, действие транзитивно, если ${\displaystyle Gm=M}$ для любого элемента ${\displaystyle m\in M}$ .
  • Примитивное действие транзитивно и не сохраняет нетривиальных подможеств ${\displaystyle M}$ .
• Эффективное , если для любых двух элементов ${\displaystyle g\neq h}$ в ${\displaystyle G}$ существует ${\displaystyle m\in M}$ такой, что ${\displaystyle gm\neq hm}$ .
• Вполне разрывное , если для любого компактного множества ${\displaystyle K}$ множество всех ${\displaystyle g\in G}$ , для которых пересечение ${\displaystyle K\cap gK}$ непусто, конечно.

На топологических пространствах и гладких многообразиях также особо рассматривают действия групп, наделённых соответствующими дополнительными структурами: топологических групп и групп Ли . Действие ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {X} }$ топологической группы на топологическом пространстве называют непрерывным , если оно непрерывно как отображение между топологическими пространствами. Аналогично определяется гладкое действие группы Ли на гладком многообразии.

• Непрерывное действие группы на пространстве жёстко (или квазианалитично ), если из того, что некоторый элемент группы действует как тождественное отображение на некотором открытом подмножестве пространства, следует, что это единичный элемент группы.
  • Любое эффективное непрерывное действие изометриями на связном римановом многообразии обязательно жёстко, чего нельзя сказать об общих метрических пространствах. Например, действие циклической группы порядка 2 перестановкой двух рёбер на графе, образованном тремя рёбрами, выходящими из одной точки, является эффективным, но не жёстким.
• Непрерывное действие группы называется кокомпактным , если факторпространство по этому действию компактен.

Орбиты

Подмножество

${\displaystyle Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M}$

называется орбитой элемента ${\displaystyle m\in M}$ (иногда обозначается как ${\displaystyle \mathrm {Orb} (m)}$ ).

Действие группы ${\displaystyle G}$ на множестве ${\displaystyle M}$ определяет на нём отношение эквивалентности

${\displaystyle \forall n,\;m\in M\;(n\,\sim _{_{G}}\,m)\Longleftrightarrow (\exists g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow (Gn=Gm).}$

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому если общее число классов эквивалентности равно ${\displaystyle k}$ , то

${\displaystyle M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k},}$

где ${\displaystyle m_{1},\;m_{2},\;\ldots ,\;m_{k}\in M}$ попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия ${\displaystyle k=1}$ .

Стабилизаторы

Подмножество

${\displaystyle G_{m}=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G}$

является подгруппой группы ${\displaystyle G}$ и называется стабилизатором , или стационарной подгруппой элемента ${\displaystyle m\in M}$ (иногда обозначается как ${\displaystyle \mathrm {Stab} (m)}$ ).

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если ${\displaystyle n\,\sim _{_{G}}\,m}$ , то найдется такой элемент ${\displaystyle g\in G}$ , что

${\displaystyle G_{m}=gG_{n}g^{-1}.}$

Количество элементов в орбите

${\displaystyle |Gm|=[G:G_{m}]}$ , ${\displaystyle G_{m}}$ — стабилизатор элемента ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle [G:G_{m}]}$ — индекс подгруппы ${\displaystyle G_{m}\subset G}$ , в случае конечных групп равен ${\displaystyle {\frac {|G|}{|G_{m}|}}}$ .

Размерность орбиты можно вычислить так:

${\displaystyle \dim |Gm|=\dim |G|-\dim |G_{m}|}$ , где

${\displaystyle \dim |Gm|}$ размерность отдельной орбиты,

${\displaystyle \dim |G_{m}|}$ размерность стабилизатора, ${\displaystyle \dim |G|}$ размерность группы Ли.

Если ${\displaystyle M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k}}$ , то

${\displaystyle |M|=\sum _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}]}$ — формула разложения на орбиты .

Эта формула также влечёт следующие тождества:

1. ${\displaystyle \forall m\in M\;\sum _{n\in Gm}|G_{n}|=|G|;}$
2. ${\displaystyle \sum _{m\in M}|G_{m}|=k|G|;}$
3. лемму Бёрнсайда .

Примеры действий

Действия на себе

Слева

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия. В этом случае ${\displaystyle M=G}$ , и гомоморфизм ${\displaystyle \Phi :G\to S(G)}$ задан как ${\displaystyle (\Phi (g))(h)=gh}$ .

Справа

Аналогично определяется действие на себе справа: ${\displaystyle (\Phi (g))(h)=hg^{-1}}$ .

Слева и справа

Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения ${\displaystyle G\times G}$ на ${\displaystyle M=G}$ с гомоморфизмом ${\displaystyle \Phi :G\times G\to S(G)}$ , заданным как ${\displaystyle (\Phi (g_{1},\;g_{2}))(h)=g_{1}hg_{2}^{-1}}$ .

Сопряжениями

Пусть ${\displaystyle M=G}$ , и гомоморфизм ${\displaystyle \Phi :G\to S(G)}$ задан как ${\displaystyle (\Phi (g))(h)=ghg^{-1}}$ . При этом для каждого элемента ${\displaystyle h\in G}$ стабилизатор ${\displaystyle G_{h}}$ совпадает с централизатором ${\displaystyle C(h)}$ :

${\displaystyle G_{h}=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).}$

Например, для элемента ${\displaystyle h}$ из центра группы ${\displaystyle G}$ (то есть ${\displaystyle h\in Z(G)}$ ) имеем ${\displaystyle C(h)=G}$ и ${\displaystyle G_{h}=G}$ .

Вариации и обобщения

• Псевдогруппа преобразований

См. также

• Представление группы

Литература

• Винберг, Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М. : Издательство «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-0607 . .
• Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6 . .