Пусть ${\displaystyle X}$ — произвольное множество , ${\displaystyle Y=(Y,d)}$ — метрическое пространство , ${\displaystyle f_{n}\colon X\to Y,\ n=1,2,\dots }$ — последовательность функций. Говорят, что последовательность ${\displaystyle f_{n}}$ равномерно сходится к функции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ , если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такой номер ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ , что для всех номеров ${\displaystyle n>N_{\varepsilon }}$ и всех точек ${\displaystyle x\in X}$ выполняется неравенство

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon }$

Обычно обозначается ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$ .

Это условие равносильно тому, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{x\in X}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=0.}$

Свойства

• Если ${\displaystyle Y}$ — линейное нормированное пространство и последовательности отображений ${\displaystyle f_{n}\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle g_{n}\colon X\to Y}$ , ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ равномерно сходятся на множестве ${\displaystyle X}$ , то последовательности ${\displaystyle \{f_{n}+g_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{\alpha f_{n}\}}$ при любых ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ также равномерно сходятся на ${\displaystyle X}$ .

• Для вещественнозначных функций (или, более общо, если ${\displaystyle Y}$ — ), последовательность отображений ${\displaystyle f_{n}\colon X\to \mathbb {R} }$ , равномерно сходится на множестве ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle g\colon X\to \mathbb {R} }$ ограниченное отображение, то последовательность ${\displaystyle \{gf_{n}\}}$ также равномерно сходится на ${\displaystyle X}$ .

• Если ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство , ${\displaystyle Y}$ — метрическое пространство и последовательность непрерывных в точке ${\displaystyle x_{0}\in X}$ отображений ${\displaystyle f_{n}\colon X\to Y}$ равномерно сходится на множестве ${\displaystyle X}$ к отображению ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ , то это отображение также непрерывно в точке ${\displaystyle x_{0}}$ .

• Если последовательность интегрируемых по Риману ( по Лебегу ) функций ${\displaystyle f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ равномерно сходится на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ к функции ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ , то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого ${\displaystyle x\in [a,b]}$ имеет место равенство
  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt}$
  и сходимость последовательности функций
  ${\displaystyle x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt}$
  на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ к функции
  ${\displaystyle x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f(t)dt}$
  равномерна.

• Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функций ${\displaystyle f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ , сходится в некоторой точке ${\displaystyle x_{0}}$ , a последовательность их производных равномерно сходится на ${\displaystyle [a,b]}$ , то последовательность ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ также равномерно сходится на ${\displaystyle [a,b]}$ , её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.

Примечания

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.
• Колмогоров А. Н., Фомин С . В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд., М., 1981.
• Келли Дж. Л. Общая топология. 2-е изд., М., 1951.
• Медведев Ф. А. К истории понятия равномерной сходимости рядов. // Историко-математические исследования . — М. : Наука , 1974. — № 19 . — С. 75-93 .