Лемниска́та (от лат. lemniscatus — «украшенный лентами») — плоская алгебраическая кривая порядка ${\displaystyle 2n}$ , у которой произведение расстояний от каждой точки до ${\displaystyle n}$ заданных точек ( фокусов ) постоянно.

Этимология

Название «лемниската» происходит от др.-греч. λημνίσκος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх .

Примеры

• Лемнискатой с одним фокусом ( ${\displaystyle n=1}$ ) является окружность радиуса ${\displaystyle r}$ , а с двумя фокусами — овал Кассини .
• Частным случаем овала Кассини является лемниската Бернулли , по имени швейцарского математика Якоба Бернулли , положившего начало изучению лемнискат. Помимо Бернулли, свойства лемнискаты изучал (1718) Джулио Карло деи Тоски ди Фаньяно (Giulio Carlo de' Toschi di Fagnano).

Уравнения

• Уравнение лемнискаты на комплексной плоскости имеет вид

${\displaystyle \left|(z-z_{1})(z-z_{2})\ldots (z-z_{n})\right|=r^{n},\;z=x+iy,\;r>0.}$

Свойства

• Произвольную кривую можно приблизить последовательностью лемнискат.
  • В частности, беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний, например, очертания человеческой головы или птицы.

См. также

• Лемниската Бута
• Лемниската Бернулли
• Овал Кассини
• Плоская кривая
• Алгебраическая кривая
• Аттрактор Лоренца

Литература

• Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : «Советская Энциклопедия». — Т. 3 (Коо-Од). — С. 234.
• Маркушевич А. И. . — Гостехиздат, 1952. — 32 с. — ( Популярные лекции по математике , выпуск 4). от 14 сентября 2008 на Wayback Machine