Цикло́ида (от греч. κυκλοειδής , «кругообразный» ) — плоская трансцендентная кривая .

Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности , катящейся без скольжения по прямой . Далее всюду ${\displaystyle r}$ обозначает радиус производящей окружности.

Уравнения

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса ${\displaystyle r}$ . Циклоида описывается:

• параметрически

  ${\displaystyle x=rt-r\sin t}$

  ${\displaystyle y=r-r\cos t}$ .

• уравнением в декартовых координатах

  ${\displaystyle x=r\arccos {\frac {r-y}{r}}-{\sqrt {2ry-y^{2}}}}$ .

• как решение дифференциального уравнения

  ${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r-y}{y}}}$ .

Свойства

Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом ${\displaystyle 2\pi r}$ . За границы периода удобно принять особые точки ( точки возврата ) вида ${\displaystyle t=2\pi k}$ , где ${\displaystyle k}$ — произвольное целое число.

У отдельной арки циклоиды есть ось симметрии , но нет центра симметрии .

Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке ${\displaystyle A}$ достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив ${\displaystyle A}$ с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль .

Длина арки циклоиды равна ${\displaystyle 8r}$ . Другими словами, длина одной ветви циклоиды равна учетверённому диаметру производящей окружности . Это свойство открыл Кристофер Рен в 1658 году

Зависимость длины дуги циклоиды ( ${\displaystyle s}$ ) от параметра ${\displaystyle t}$ следующая : ${\displaystyle s(t)=4r(1-\cos {t \over 2})}$ .

Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли сообщил, что этот факт Галилей открыл экспериментально: сравнил вес пластинок с кругом и с аркой циклоиды. Математически этот факт первым доказал Роберваль около 1634 года с помощью метода неделимых .

Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен ${\displaystyle 4r\sin {\dfrac {t}{2}}}$ .

«Перевёрнутая» циклоида является кривой наискорейшего спуска ( брахистохроной ). Более того, она имеет также свойство таутохронности : тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.

Два нижеследующих свойства, открытые Гюйгенсом , были им использованы для создания точных механических часов .

• Период колебаний материальной точки , скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды . Это непосредственное следствие таутохронности.
• Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной и параллельно сдвинутой от исходной так, что вершины переходят в « острия ».

Площадь поверхности, образованной вращением арки циклоиды вокруг её основания, равна ${\displaystyle {\dfrac {64}{3}}\pi r^{2}.}$ Она превышает двойную площадь циклоиды (площадь осевого сечения) в ${\displaystyle 3{\dfrac {5}{9}}}$ раза .

Вариации и обобщения

Циклоиду можно рассматривать как:

• разновидность трохоиды в случае, когда производящая окружность катится по прямой;
• предельный случай , когда число сторон многоугольника увеличивается до бесконечности.

Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение , описывают циклоидальные кривые : циклоида, эпициклоида , гипоциклоида , трохоида , астроида ( ср. построение лемнискаты Бернулли ).

Исторический очерк

Первыми из учёных обратили внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке и Шарль де Бовель в труде 1501 года. Но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке.

Название циклоида придумал Галилей (во Франции эту кривую сначала называли рулеттой ). Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея Мерсенн . Среди трансцендентных кривых (то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде многочлена от ${\displaystyle x,y}$ ), циклоида — первая из исследованных.

Паскаль писал о циклоиде :

Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса...

Оригинальный текст (фр.)

La Roulette est une ligne si commune, qu'apres la droitte, & la circulaire, il n'y en a point de si frequente; Et elle se décrit si fouuent aux yeux de tout le monde, qu'il y a lieu de s'estonner qu'elle n'ait point esté considerée par les anciens, dans lesquels on n'en trouue rien : Car ce n'est autre chose que le chemin que fait en l'air, le clou d'une rouë...

Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали Декарт , Ферма , Ньютон , Лейбниц , братья Якоб и Иоганн Бернулли и другие корифеи науки XVII—XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы математического анализа .

Тот факт, что аналитическое исследование циклоиды оказалось столь же успешным, как и анализ алгебраических кривых , произвёл большое впечатление и стал важным аргументом в пользу «уравнения в правах» алгебраических и трансцендентных кривых.

Применение

Один из самых популярных типов шестерёнок — с циклоидальными зубьями. Циклоидальные профили чаще встречаются в часовых механизмах .

Примечания

Литература

• Берман Г. Н. М., Наука, 1980, 112 с.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М. : АСТ , 2019. — 704 с. — ISBN 978-5-17-117741-6 .
• Гиндикин С. Г. . — издание третье, расширенное. — М. : МЦНМО , 2001. — С. 126-165. — ISBN 5-900916-83-9 .
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, М: Наука 1978, стр. 32.
• // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов . — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Циклоида // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1982. — Т. 5. — Стб. 817.

Ссылки

• Веров С. Г. // Квант . — 1975. — № 8 . — С. 19—27 .