Овал Кассини — кривая , являющаяся геометрическим местом точек , произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа ${\displaystyle a}$ . Является частным случаем торического сечения и кривой Персея .

Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии, равном ${\displaystyle 2a}$ , является лемниската Бернулли .

В новое время кривая была введена (переоткрыта) астрономом Джованни Кассини . Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли , чем эллипс . Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна (см. ниже — Особенности формы ).

Вариации (другие случаи)

Кривая постоянной суммы расстояний до двух заданных точек — эллипс , постоянного отношения — окружность Аполлония , постоянной разности — гипербола .

Уравнения

Расстояние между фокусами ${\displaystyle 2c}$ .

• В прямоугольных координатах :

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}}$

Вывод

Фокусы — ${\displaystyle F_{1}(-c;0)}$ и ${\displaystyle F_{2}(c;0)}$ . Возьмём произвольную точку ${\displaystyle M(x;y)}$ , найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к ${\displaystyle a^{2}}$ : ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=a^{2}}$ Возводим в квадрат обе части равенства: ${\displaystyle \textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(x-c)^{2}+y^{2}{\Big )}=a^{4}}$ Раскрываем скобки в левой части: ${\displaystyle \textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}}$ Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель: ${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}}$

• Явное уравнение в прямоугольных координатах:

${\displaystyle \textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4c^{2}x^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}}$

Вывод

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}}$ Возводим в квадрат и раскрываем скобки: ${\displaystyle \textstyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-2c^{2}x^{2}+2c^{2}y^{2}=a^{4}-c^{4}}$ Приводим к виду ${\displaystyle \textstyle y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{2}x^{2}-a^{4}+c^{4}=0}$ Это квадратное уравнение относительно ${\displaystyle y^{2}}$ . Решив его, получим ${\displaystyle \textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}}$ Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим: ${\displaystyle \textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}}$ где положительный вариант определяет верхнюю половину кривой, отрицательный — нижнюю.

• В полярной системе координат:

${\displaystyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos {2\varphi }=a^{4}-c^{4}}$

Вывод

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}}$ Используя формулы перехода к полярной системе координат ${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,}$ получим: ${\displaystyle {\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}^{2}-2c^{2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}=a^{4}-c^{4}}$ Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$ : ${\displaystyle \textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}}$ Используем ещё одно тождество: ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha }$ : ${\displaystyle \textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}}$

Особенности формы

В уравнении кривой содержатся два независимых параметра: ${\displaystyle c}$ — половина расстояния между фокусами и ${\displaystyle a}$ — корень квадратный из произведения расстояний от фокусов до любой точки кривой. С точки зрения формы наиболее существенно отношение параметров, а не их величины, которые при неизменном отношении определяют лишь размер фигуры. Можно выделить шесть разновидностей формы в зависимости от величины отношения ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}}$ :

• ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}=\infty }$ , то есть ${\displaystyle \textstyle a=0}$ при ${\displaystyle \textstyle c\neq 0}$ .

Кривая вырождается в две точки, которые совпадают с фокусами. При ${\displaystyle c\to \infty }$ форма кривой стремится к двум точкам.

• ${\displaystyle \textstyle 1<{\frac {c}{a}}<\infty }$ , то есть ${\displaystyle \textstyle 0<a<c}$

Кривая распадается на два отдельных овала , каждый из которых вытянут в направлении другого и по форме напоминает яйцо .

• ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}=1}$ , то есть ${\displaystyle \textstyle a=c}$

Правая часть уравнения в прямоугольных координатах (см. выше) обращается в ноль, и кривая становится лемнискатой Бернулли .

• ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}<{\frac {c}{a}}<1}$ , то есть ${\displaystyle \textstyle c<a<c{\sqrt {2}}}$

У кривой появляются четыре симметричные точки перегиба (по одной в каждой координатной четверти). Кривизна в точках пересечения с осью ${\displaystyle OY}$ стремится к нулю, когда ${\displaystyle a}$ стремится к ${\displaystyle c}$ и к бесконечности, когда ${\displaystyle a}$ стремится к ${\displaystyle c{\sqrt {2}}}$ .

• ${\displaystyle \textstyle 0<{\frac {c}{a}}\leqslant {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ , то есть ${\displaystyle \textstyle a\geqslant c{\sqrt {2}}}$

Кривая становится овалом , то есть выпуклой замкнутой кривой .

• ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}=0}$ , то есть ${\displaystyle \textstyle c=0}$ при ${\displaystyle \textstyle a\neq 0}$

По мере увеличения ${\displaystyle a}$ (то есть стремления отношения ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}}$ к нулю) кривая стремится к окружности радиуса ${\displaystyle a}$ . Если ${\displaystyle c=0}$ , то отношение ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}}$ достигает нуля, и в этом случае кривая вырождается в окружность.

Свойства

• Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
• Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
• При ${\displaystyle 0<a<c{\sqrt {2}}}$ имеет два абсолютных максимума и два минимума:

${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm {\frac {\sqrt {4c^{4}-a^{4}}}{2c}}\\y=\pm {\frac {a^{2}}{2c}}\end{cases}}}$

Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса ${\displaystyle c}$ с центром в середине отрезка между фокусами.

• При ${\displaystyle c<a\leqslant c{\sqrt {2}}}$ кривая имеет четыре точки перегиба . Их полярные координаты:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\sqrt[{4}]{\frac {a^{4}-c^{4}}{3}}}\\\cos 2\varphi =-{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left({\frac {a^{4}}{c^{4}}}-1\right)}}\end{cases}}}$

Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами ${\displaystyle \left(0;\pm c\right)}$ .

• Радиус кривизны для представления в полярных координатах :

${\displaystyle R={\frac {a^{2}\rho }{\rho ^{2}+c^{2}\cos {2\varphi }}}={\frac {2a^{2}\rho ^{3}}{c^{4}-a^{4}+3\rho ^{4}}}}$

Применение

При двухпозиционной радиолокации областью обнаружения цели является фигура, ограниченная овалом Кассини, если принять в качестве одного его фокуса позицию источника излучения, а другого — позицию приёмника. Аналогично, в астрономии при наблюдении, например, астероидов , светящих отражённым светом Солнца, условия их обнаружения при заданной чувствительности телескопа описываются формулой овала Кассини. В этом случае границей обнаружимости будет поверхность, образованная вращением овала вокруг оси, соединяющей Солнце и наблюдателя.

Овалы Кассини на торе (тороиде)

Овалы Кассини появляются как плоские сечения тора , но только тогда, когда секущая плоскость параллельна оси тора, а её расстояние до оси равно радиусу образующей окружности (см. рисунок).

Обобщения

• Овал Кассини является частным случаем лемнискаты .

• Овал Кассини — частный случай кривой Персея .

В частности, уравнение кривой Персея в декартовой системе координат

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=ax^{2}+by^{2}+c}$ .

при ${\displaystyle a=-b=2c^{2},c=a^{4}-c^{4}}$ переходит в уравнение овала Кассини

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}}$

См. также

• Лемниската Бута
• Лемниската Бернулли
• Плоская кривая
• Алгебраическая кривая
• Овал Декарта

Литература

• Математическая энциклопедия (в 5 томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д — Коо, с. 759.
• Маркушевич А. И. , от 26 августа 2017 на Wayback Machine , выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 с.

Примечания