Пьер де Ферма́ ( фр. Pierre de Fermat , 1607 — 12 января 1665 ) — французский математик -самоучка, один из создателей аналитической геометрии , математического анализа , теории вероятностей и теории чисел . По профессии юрист , с 1631 года — советник парламента в Тулузе . Один из величайших математиков всех времён. Блестящий полиглот . Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма , «самой знаменитой математической загадки всех времён» .

Биография

Пьер Ферма родился в 1607 году между октябрём и декабрём в гасконском городке Бомон-де-Ломань ( фр. Beaumont-de-Lomagne) во Франции . Его отец, Доминик Ферма, был зажиточным торговцем-кожевником, вторым городским консулом. В семье, кроме Пьера, были ещё один сын и две дочери. Ферма получил юридическое образование — сначала в Тулузе (1620—1625), а затем в Бордо и Орлеане (1625—1631).

В 1631 году, успешно окончив обучение, Ферма выкупил должность королевского советника парламента (другими словами, члена высшего суда) в Тулузе. В этом же году он женился на дальней родственнице матери, Луизе де Лонг. У них было пятеро детей .

Быстрый служебный рост позволил Ферма стать членом Палаты эдиктов в городе Кастр (1648). Именно этой должности он обязан добавлением к своему имени признака знатности — частицы de ; с этого времени он становится Пьером де Ферма .

Спокойная размеренная жизнь провинциального юриста оставляла Ферма время на самообразование и математические исследования. В 1636 году он написал трактат «Введение к теории плоских и пространственных мест», где независимо от « Геометрии » Декарта (вышедшей годом позже) изложил аналитическую геометрию . В 1637 году сформулировал свою « Великую теорему ». В 1640 году обнародовал менее знаменитую, но гораздо более фундаментальную Малую теорему Ферма . Вёл активную переписку (через Марена Мерсенна ) с крупными математиками того периода. С его переписки с Паскалем начинается формирование идей теории вероятностей .

В 1637 году начался конфликт Ферма и Декарта. Ферма уничтожающе отозвался о декартовой «Диоптрике», Декарт не остался в долгу, дал разгромный отзыв на работы Ферма по анализу и намекнул, что часть результатов Ферма являются плагиатом из декартовской « Геометрии ». Метод Ферма для проведения касательных Декарт не понял (изложение в статье Ферма в самом деле было кратким и небрежным) и в качестве вызова предложил автору найти касательную к кривой, позднее названной « декартов лист ». Ферма не замедлил дать два правильных решения — одно согласно статье Ферма, другое — основанное на идеях «Геометрии» Декарта, причём стало очевидным, что способ Ферма проще и удобнее. Посредником в споре выступил Жерар Дезарг — он признал, что метод Ферма универсален и правилен по существу, но изложен неясно и неполно. Декарт принёс извинения сопернику, но до конца жизни относился к Ферма недоброжелательно .

Около 1652 года Ферма пришлось опровергать сообщение о своей кончине во время эпидемии чумы; он действительно заразился, но выжил, причём смерть множества коллег продвинула Ферма до поста высшего парламентского судьи. В 1654 году Ферма совершил единственное в своей жизни дальнее путешествие по Европе. В 1660 году планировалась его встреча с Паскалем, но из-за плохого здоровья обоих учёных встреча не состоялась .

Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в городе Кастр , во время выездной сессии суда. Первоначально его похоронили там же, в Кастре, но позднее (1675) прах перенесли в семейную усыпальницу Ферма в тулузской церкви августинцев. В годы Французской революции останки Ферма затерялись.

Старший сын учёного, Клеман-Самуэль (также любитель математики), издал в 1670 году посмертное собрание трудов отца (несколько сотен писем и заметок), из которого научная общественность и узнала о замечательных открытиях Пьера Ферма. Дополнительно он опубликовал «Комментарии к Диофанту», сделанные отцом на полях перевода книги Диофанта; с этого момента начинается известность «Великой теоремы Ферма» .

Современники характеризуют Ферма как честного, аккуратного, уравновешенного и приветливого человека, блестяще эрудированного как в математике, так и в гуманитарных науках, знатока многих древних и живых языков, на которых он писал неплохие стихи .

Научная деятельность

Открытия Ферма дошли до нас благодаря сборнику его обширной переписки (в основном через Мерсенна ), изданной посмертно сыном учёного. Ферма приобрёл славу одного из первых математиков Франции, хотя и не писал книг (научных журналов ещё не было), ограничиваясь письмами к коллегам. Среди его корреспондентов были Рене Декарт , Блез Паскаль , Жерар Дезарг , Жиль Роберваль , Джон Валлис и другие. Единственной работой Ферма, опубликованной в печатном виде при его жизни, стал «Трактат о спрямлении» (1660), который вышел в свет как приложении к труду его земляка и друга Антуана де Лалувера и (по требованию Ферма) без указания имени автора.

В отличие от Декарта и Ньютона , Ферма был чистым математиком — первым великим математиком новой Европы. Независимо от Декарта он создал аналитическую геометрию . Раньше Ньютона умел использовать дифференциальные методы для проведения касательных , нахождения максимумов и вычисления площадей. Правда, Ферма, в отличие от Ньютона, не свёл эти методы в систему, однако Ньютон позже признавался, что именно работы Ферма подтолкнули его к созданию анализа .

Главная же заслуга Пьера Ферма — создание теории чисел .

Теория чисел

Математики Древней Греции со времён Пифагора собирали и доказывали разнообразные утверждения, относящиеся к натуральным числам (например, методы построения всех пифагоровых троек , метод построения совершенных чисел и т. п.). Диофант Александрийский (III век н. э.) в своей «Арифметике» рассматривал многочисленные задачи о решении в рациональных числах алгебраических уравнений с несколькими неизвестными (ныне диофантовыми принято называть уравнения, которые требуется решить в целых числах). Эта книга (не полностью) стала известна в Европе в XVI веке , а в 1621 году она была издана во Франции и стала настольной книгой Ферма.

Ферма постоянно интересовался арифметическими задачами, обменивался сложными задачами с современниками. Например, в своём письме, получившем название «Второго вызова математикам» (февраль 1657 года), он предложил найти общее правило решения уравнения Пелля ${\displaystyle ax^{2}+1=y^{2}}$ в целых числах. В письме он предлагал найти решения при a = 149, 109, 433. Полное решение задачи Ферма было найдено лишь в 1759 году Эйлером .

Начал Ферма с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чисел — арифметические теоремы. Несомненно влияние Диофанта на Ферма, и символично, что он записывает свои удивительные открытия на полях «Арифметики».

Ферма обнаружил, что если a не делится на простое число p , то число ${\displaystyle a^{p-1}-1}$ всегда делится на p (см. Малая теорема Ферма ). Позднее Эйлер дал доказательство и обобщение этого важного результата: см. Теорема Эйлера .

Обнаружив, что число ${\displaystyle 2^{2^{k}}+1}$ простое при k ≤ 4, Ферма решил, что эти числа простые при всех k , но Эйлер впоследствии показал, что при k = 5 имеется делитель 641. До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Ферма .

Эйлер доказал (1749) ещё одну гипотезу Ферма (сам Ферма редко приводил доказательства своих утверждений): простые числа вида 4 k + 1 представляются в виде суммы двух квадратов (5 = 4 + 1; 13 = 9 + 4), причём единственным способом, а для чисел, содержащих в своём разложении на простые множители простые числа вида 4 k + 3 в нечётной степени, такое представление невозможно. Эйлеру это доказательство стоило 7 лет трудов; сам Ферма доказывал эту теорему косвенно, изобретённым им индуктивным « методом бесконечного спуска ». Этот метод был опубликован только в 1879 году; впрочем, Эйлер восстановил суть метода по нескольким замечаниям в письмах Ферма и неоднократно успешно его применял. Позже усовершенствованную версию метода применяли Пуанкаре и Андре Вейль .

Ферма разработал способ систематического нахождения всех делителей числа, сформулировал теорему о возможности представления произвольного числа суммой не более четырёх квадратов ( теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов ). Самое знаменитое его утверждение — « Великая теорема Ферма » (см. ниже).

Большой интерес вызывали у Ферма фигурные числа . В 1637 году он сформулировал так называемую «золотую теорему» :

• Всякое натуральное число — либо треугольное , либо сумма двух или трёх треугольных чисел.
• Всякое натуральное число — либо квадратное , либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел ( теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов ).
• Всякое натуральное число — либо пятиугольное , либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел.
• И т. д.

Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году .

Многие остроумные методы, применяемые Ферма, остались неизвестными. Однажды Мерсенн попросил Ферма выяснить, является ли многозначное число 100 895 598 169 простым. Ферма не замедлил сообщить, что ${\displaystyle 100\,895\,598\,169=898\,423\cdot 112\,303}$ (оба сомножителя — простые числа); он не пояснил, как нашёл эти делители. В одном из писем Френиклю де Бесси Ферма поставил задачу: найти прямоугольный треугольник , у которого гипотенуза и сумма катетов — квадратные числа (то есть точные квадраты). Френикль высказал сомнение, что задача имеет решение, однако Ферма в ответном письме привёл одно из решений .

Гипотенуза: ${\displaystyle 4\,687\,298\,610\,289=2\,165\,017^{2};}$

Катеты: 4 565 486 027 761 и 1 061 652 293 520;

Сумма катетов: ${\displaystyle 5\,627\,138\,321\,281=2\,372\,153^{2}}$ .

Арифметические открытия Ферма опередили время и были забыты на 70 лет, пока ими не заинтересовался Эйлер, опубликовавший систематическую теорию чисел. Одна из причин этого — интересы большинства математиков переключились на математический анализ ; сказалось, вероятно, и то, что Ферма использовал устаревшую и громоздкую математическую символику Виета вместо гораздо более удобных обозначений Декарта .

Математический анализ и геометрия

Ферма практически по современным правилам находил касательные к алгебраическим кривым . Именно эти работы подтолкнули Ньютона к созданию анализа . В учебниках по математическому анализу можно найти важную лемму Ферма , или необходимый признак экстремума : в точках экстремума производная функции равна нулю.

Ферма сформулировал общий закон дифференцирования дробных степеней. Он дал общий способ для проведения касательных к произвольной алгебраической кривой . В «Трактате о квадратурах» (1658) Ферма показал, как найти площадь под гиперболами различных степеней, распространив формулу интегрирования степени даже на случаи дробных и отрицательных показателей. В «Трактате о спрямлении» Ферма описал общий способ решения труднейшей задачи нахождения длины произвольной (алгебраической) кривой.

Наряду с Декартом , Ферма считается основателем аналитической геометрии . В работе «Введение к теории плоских и пространственных мест», ставшей известной в 1636 году, он первый провёл классификацию кривых в зависимости от порядка их уравнения, установил, что уравнение первого порядка определяет прямую, а уравнение второго порядка — коническое сечение . Развивая эти идеи, Ферма пошёл дальше Декарта и попытался применить аналитическую геометрию к пространству, но существенно не продвинулся в этой теме.

Другие достижения

Независимо от Паскаля Ферма разработал основы теории вероятностей . Именно с переписки Ферма и Паскаля ( 1654 ), в которой они, в частности, пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей, отсчитывает свою историю эта замечательная наука. Результаты Ферма и Паскаля были приведены в книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре» (1657), первом руководстве по теории вероятностей.

Имя Ферма носит основной вариационный принцип геометрической оптики , в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее время (впрочем, Ферма считал, что скорость света бесконечна, и формулировал принцип более туманно). С этого тезиса начинается история главного закона физики — принципа наименьшего действия .

Ферма перенёс на трёхмерный случай (внутреннего касания сфер) алгоритм Виета для задачи Аполлония касания окружностей .

Великая теорема Ферма

Для любого натурального числа ${\displaystyle n>2}$ уравнение

${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$

не имеет натуральных решений ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ .

Ферма широко известен благодаря так называемой великой (или последней) теореме Ферма . Теорема была сформулирована им в 1637 году , на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы привести его на полях.

Вероятнее всего, его доказательство не было верным, так как позднее он опубликовал доказательство только для случая ${\displaystyle n=4}$ . Доказательство, разработанное в 1994 году Эндрю Уайлсом , содержит 129 страниц и опубликовано в журнале « Annals of Mathematics » в 1995 году .

Простота формулировки этой теоремы привлекла много математиков-любителей, так называемых ферматистов . Даже и после решения Уайлса во все академии наук идут письма с «доказательствами» великой теоремы Ферма.

Увековечение памяти

• В 1935 году Международный астрономический союз присвоил имя Пьера Ферма кратеру на видимой стороне Луны .
• Математическая премия Ферма вручается с 1989 года.
• В Тулузе имя Ферма присвоено улице, а также старейшему и самому престижному лицею Тулузы ( фр. Lycée Pierre de Fermat).
• В Бомон-де-Ломани, где родился Ферма, открыт его музей и установлен памятник учёному. В его честь названы улица и расположенный на этой улице отель.
• В честь Ферма названы различные математические теоремы и понятия, в том числе:

  Великая теорема Ферма

  Малая теорема Ферма

  Метод факторизации Ферма

  Проблема Штейнера

  Спираль Ферма

  Точка Ферма

  Числа Ферма

Ферма в художественной литературе и на марках

Александр Казанцев написал научно-фантастический роман-гипотезу «Клокочущая пустота». Книга первая этого романа, «Острее шпаги», посвящена описанию жизни и достижений Пьера Ферма.

В год 400-летия учёного (2001) почта Франции выпустила почтовую марку (0,69 евро) с его портретом и формулировкой Великой теоремы.

Труды в русском переводе

• Ферма П. Исследования по теории чисел и диофантову анализу. М.: Наука, 1992. ISBN 5-02-014121-6 . Переиздания: 2007, 2015.

Примечания

Литература

• Альварес Л. Ф. А. Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма // Наука. Величайшие теории. — М. : Де Агостини, 2015. — Вып. 18 . — ISSN .
• Башмакова И. Г. Диофант и Ферма (к истории метода касательных и экстремумов). Историко-математические исследования , 17, 1966, С. 185—207.
• Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М.: Наука, 1984.
• Белл Э. Т. Творцы математики. — М. : Просвещение, 1979. — 256 с.
• Ван дер Варден Б. Л. Переписка между Паскалем и Ферма по вопросам теории вероятностей. ИМИ, 21, 1976, С. 228—232.
• // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. II.
• // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
• Фрейман Л. С. Ферма, Торричелли, Роберваль. В кн.: У истоков классической науки. М.: Наука, 1968, С. 173—254.
• Храмов Ю. А. Ферма Пьер (Pierre de Fermat) // Физики : Биографический справочник / Под ред. А. И. Ахиезера . — Изд. 2-е, испр. и доп. — М. : Наука , 1983. — С. 275. — 400 с. — 200 000 экз.
• Шаль . . Гл. 2, § 10-14. М., 1883.

Ссылки

• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон . (англ.) — биография в архиве MacTutor .
• from W. W. Rouse Ball’s History of Mathematics