Куб
с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов.
Из куба
удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения.
Получается множество
, состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга».
Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество
, состоящее из 400 кубов второго ранга.
Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность
,
пересечение членов которой есть губка Менгера.
Игра в хаос
Губка Менгера может быть также получена при помощи процесса, называемого
, который заключается в следующем:
Задаётся некоторая начальная точка
, лежащая внутри куба.
Строится последовательность точек в следующем цикле:
Случайно выбирается аттрактор
из 20 возможных с равной вероятностью.
Строится точка
с новыми координатами:
, где:
— координаты предыдущей точки
;
— координаты выбранного аттрактора.
Если выполнять цикл достаточно много раз (не менее 100 тысяч) и потом отбросить первые несколько десятков точек, то оставшиеся точки будут образовывать фигуру близкую к губке Менгера.
Свойства
Губка Менгера состоит из 20 одинаковых частей, коэффициент подобия которых равен 1/3.
Ортогональные проекции губки Менгера представляют собой ковёр Серпинского.
Губка Менгера имеет промежуточную (то есть не
целую
)
Хаусдорфову размерность
, которая равна
поскольку она состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом
подобия
1/3.
Губка Менгера топологически характеризуется как одномерный связный локально связный метризуемый компакт, не имеющий локально разбивающих точек (то есть для любой связной окрестности
любой точки
множество
связно) и не имеющий непустых открытых и вложимых в плоскость подмножеств.
Губка Менгера является универсальной
кривой Урысона
, то есть какова бы ни была кривая Урысона
, в губке Менгера найдется подмножество
, гомеоморфное
.
Губка Менгера имеет нулевой объём, но бесконечную площадь граней.
Объём определяется формулой 20/27 на каждую итерацию:
Сечение губки Менгера, ограниченной кубом со стороной 1 и центром в начале координат, плоскостью
содержит
гексаграммы
.
Майкл Барнсли
, Луиза Барнсли.
Фрактальные трансформации
//
/ Пер. в англ., фр. Е. В. Николаевой. —
СПб.
: Спарта, 2015. — С. 35. — 224 с. —
ISBN 9785040137008
.
Dariusz Buraczewski, Ewa Damek, Thomas Mikosch.
. — Springer, 2016-07-04. — 325 с. — P. 7. —
ISBN 9783319296791
.
Dana M. Dattelbaum, Axinte Ionita, Brian M. Patterson, Brittany A. Branch, Lindsey Kuettner.
// AIP Advances. — 2020-07-01. —
Т. 10
,
вып. 7
. —
С. 075016
. —
doi
:
.
12 марта 2022 года.