Interested Article - B-сплайн

B-сплайн — сплайн -функция, имеющая наименьший носитель для заданной степени , порядка гладкости и разбиения области определения . Фундаментальная теорема устанавливает, что любая сплайн-функция для заданной степени, гладкости и области определения может быть представлена как линейная комбинация B-сплайнов той же степени и гладкости на той же области определения. Термин B-сплайн был введён И. Шёнбергом и является сокращением от словосочетания «базисный сплайн». B-сплайны могут быть вычислены с помощью , обладающего устойчивостью .

В системах автоматизированного проектирования и компьютерной графике термин B-сплайн часто описывает сплайн-кривую, которая задана сплайн-функциями, выраженными линейными комбинациями B-сплайнов.

Определение

Когда узлы равноудалены друг от друга, говорят, что B-сплайн является однородным , в противном случае его называют неоднородным

Замечания

Когда количество узлов совпадает со степенью сплайна, B-сплайн вырождается в кривую Безье . Форма базисной функции определяется расположением узлов. Масштабирование или параллельный перенос базисного вектора не влияет на базисную функцию.

Сплайн содержится в выпуклой оболочке его опорных точек.

Базисный сплайн степени n

b_{i,n}(t)\,\;

не обращается в нуль только на промежутке [ t _i , t _i+n+1 ], то есть

b_{i,n}(t)=\left\{{\begin{matrix}>0&\mathrm {if} \quad t_{i}\leq t<t_{i+n+1}\\0&\mathrm {otherwise} \end{matrix}}\right.

Другими словами, изменение одной опорной точки влияет только на локальное поведение кривой, а не на глобальное, как в случае кривых Безье .

Базисная функция может быть получена из полинома Бернштейна

P-сплайн

P-сплайн является модификацией B-сплайна и отличается использованием штрафной функции. Её введение позволяет использовать B-сплайновое сглаживание с весовыми коэффициентами для подгонки кривой в сочетании с дополнительным повышением гладкости и исключением переобучения на основе штрафной функции .

См. также

Ссылки

от 19 декабря 2007 на Wayback Machine

Примечания

Carl de Boor. A Practical Guide to Splines (неопр.) . — Springer-Verlag , 1978. — С. 113—114.
Carl de Boor. A Practical Guide to Splines (неопр.) . — Springer-Verlag , 1978. — С. 114—115.
Eilers, P.H.C. and Marx, B.D. (1996). Flexible smoothing with B-splines and penalties (with comments and rejoinder). Statistical Science 11(2): 89-121.

Литература

Роджерс Д.,Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М. : Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4 .
Корнейчук, Н. П. , , Лигун, А. А. / отв. ред. А. И. Степанец; ред. С. Д. Кошис, О. Д. Мельник, АН Украины, Ин-т математики. — К. : Наукова думка , 1992. — 304 с. — ISBN 5-12-002210-3 .