Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера , что породило шуточное фольклорное правило: « В математике принято называть открытие именем второго человека, который его сделал — иначе пришлось бы всё называть именем Эйлера » .

Теоремы

• Теорема Эйлера в теории чисел — обобщение малой теоремы Ферма .
• Теорема вращения Эйлера — утверждение, что любое движение твёрдого тела в трёхмерном пространстве, имеющее неподвижную точку, является вращением тела вокруг некоторой оси.
• Теорема Эйлера в планиметрии — зависимость между радиусами вписанной и описанной окружностей треугольника.
• Теорема Эйлера о четырёхугольниках — связь между сторонами выпуклого четырёхугольника и его диагоналями.
• Пентагональная теорема Эйлера о производящей функции для числа разбиений .
• Гипотеза Эйлера в теории чисел — утверждение, что для любого натурального числа ${\displaystyle n>2}$ никакую n -ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы из ${\displaystyle (n-1)}$ натуральных чисел, возведённых в ${\displaystyle n}$ -ю степень. Опровергнуто.
• Теорема Эйлера для многогранников — связь между числом вершин, рёбер и граней многогранника. Также имеет смысл для планарного графа .
• Теорема Эйлера для однородных функций — утверждение, что дифференцируемая функция ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ является однородной с порядком однородности ${\displaystyle q}$ , тогда и только тогда, когда выполнено соотношение Эйлера : ${\displaystyle \sum x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$

Уравнения

• Уравнения Эйлера — Лагранжа — основные формулы вариационного исчисления , c помощью которых ищутся экстремумы функционалов , зависящих от неизвестной функции и её производной.
• Уравнения Эйлера — Пуассона — обобщение уравнения Эйлера — Лагранжа на случай, когда функционал зависит от неизвестной функции и её производных выше первого порядка.
• Уравнения Эйлера ( механика твёрдого тела ) — описывают вращение твердого тела.
• Уравнение Эйлера ( гидродинамика ) — описывает движение идеальной (невязкой) сжимаемой жидкости или газа.
• Уравнение Коши — Эйлера — линейное дифференциальное уравнение определённого типа, допускающее явное решение.
• (коллинеарные точки).
• — описывает равновесие балки .

Функции

• Функция Эйлера ${\displaystyle \varphi (n)}$ — количество натуральных чисел, не превосходящих ${\displaystyle n}$ и взаимно простых с ним. *: ${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),\;\;n>1,}$

где ${\displaystyle p}$ — простое число и пробегает все значения, участвующие в разложении ${\displaystyle n}$ на простые сомножители.

• — модулярная функция ${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}),\;|q|\leq 1}$ . Является классическим примером, показывающим связь между комбинаторикой и комплексным анализом .

Тождества

• Тождество Эйлера в теории чисел
• Тождество Эйлера в комплексном анализе — частный случай формулы Эйлера , связывающий пять фундаментальных чисел математики.
• Тождество Эйлера о кватернионах, «тождество Эйлера о четырёх квадратах» ( алгебра ) — теорема о том, что произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов.
• в алгебре многочленов — соотношение

  ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\equiv kF}$ ,

которое справедливо для любой алгебраической формы ( однородного многочлена ) ${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ степени ${\displaystyle k}$ .

Формулы

• Формула Эйлера ( комплексный анализ ) связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями :

  ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

• Формула Эйлера в дифференциальной геометрии:

  ${\displaystyle \kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha }$ ,

где ${\displaystyle \kappa _{e}}$ — кривизна нормального сечения поверхности в направлении ${\displaystyle e}$ , ${\displaystyle \kappa _{1}}$ и ${\displaystyle \kappa _{2}}$ — главные кривизны (с соответствующими главными направлениями ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$ ), ${\displaystyle \alpha }$ — угол между направлениями ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle e_{1}}$ .

• Формула Эйлера в кинематике связывает скорости двух точек твёрдого тела:

  ${\displaystyle {\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\vec {AB}}}$ .

• Формула Эйлера (механика трения качения в витках ): ${\displaystyle F=fe^{k\alpha }}$ , связывает зависимость силы трения от числа оборотов (витков); ${\displaystyle F}$ — сила, против которой направлено наше усилие ${\displaystyle f}$ (наприм., подъёмная сила кранов с наматывающимся тросом), ${\displaystyle e}$ — основание натуральных логарифмов , ${\displaystyle k}$ — коэффициент трения между верёвкой (тросом, швартовами , талями ) и наматывающей поверхностью (цилиндром-сваей, фрикционным колесом, воротом , кабестаном ), ${\displaystyle \alpha }$ — «угол навивания», то есть отношение длины дуги , охваченной верёвкой (числа оборотов ), к радиусу этой дуги (см. также радиан ) .
• Формула Эйлера для суммы первых ${\displaystyle n}$ членов гармонического ряда .
• Формула Эйлера в теории графов , связывающая количество вершин, рёбер и граней планарного графа

  ${\displaystyle |V(G)|-|E(G)|+|F(G)|=2.}$

• Формула Эйлера для треугольника — формула для расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
• Формула Эйлера для четырёхугольника — выражение для расстояния между серединами диагоналей — его учетверённый квадрат равен сумме квадратов четырёх сторон четырёхугольника минус сумма квадратов двух его диагоналей. Как частный случай, из неё можно получить: тождество параллелограмма , длину медианы треугольника .
• Формула Эйлера для радиальных турбин и центробежных насосов

Интегралы

• Бета-функция — эйлеров интеграл (интеграл Эйлера) первого рода.
• Гамма-функция — эйлеров интеграл (интеграл Эйлера) второго рода.
• Интеграл Эйлера — Пуассона (так называемый гауссов интеграл).

Числа

• Постоянная Эйлера — Маскерони — предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа.
• Число e — основание натурального логарифма , иррациональное и трансцендентное число .
• Число Эйлера — безразмерный коэффициент, имеющий место в уравнениях Навье — Стокса, описывающий отношение между силами давления на единичный объём жидкости (или газа) и инерционными силами.
• Эйлеровы числа
• Числа Эйлера I рода
• Числа Эйлера II рода
• Счастливое число Эйлера
• Целое число Эйлера ( целое число Эйзенштейна )

Прочие математические понятия

• в теории цепных дробей — определение периода бесконечной цепной дроби.
• Эйлерова характеристика в алгебраической топологии — топологический инвариант .
• Углы Эйлера — углы, описывающие поворот абсолютно твердого тела в трёхмерном евклидовом пространстве .
• .
• — интегральное преобразование .
• Прямая Эйлера ( геометрия треугольника ) — прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника .
• Окружность Эйлера , «окружность девяти точек» — в геометрии треугольника окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника.
• Круги Эйлера — геометрическая схема для отображения отношения между подмножествами .
• Критерий Эйлера , определяющий, является ли целое число квадратичным вычетом по модулю простого числа .
• Эйлеров путь ( теория графов ) — путь в графе , проходящий по всем рёбрам графа и притом только по одному разу. О связанных понятиях: эйлеров цикл , эйлеров граф , полуэйлеров граф см. ту же статью.
• — периодический идеальный сплайн минимальной нормы.
• Эйлерова сила — в механике такая сила, которая при сжимании стержня вызовет потерю его устойчивости (продольный изгиб).
• Подстановки Эйлера — замены переменных, решающие некоторые виды интегралов.
• Группа Эйлера — мультипликативная группа кольца вычетов по модулю ${\displaystyle n}$ , обозначается ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{\times }}$ или ${\displaystyle \Gamma (n)}$ .
• Спираль Эйлера — другое название клотоиды (спирали Корню).
• Метод Эйлера — численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений .
• Оператор Эйлера — дифференциальный оператор ${\displaystyle x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}}$ .

Прочее

• Эйлер — астероид главного пояса , открытый 29 августа 1973 года российским астрономом Тамарой Смирновой в Крымской астрофизической обсерватории .
• — кратер ударного происхождения на видимой части Луны, диаметр 28 км.
• — неофициальная олимпиада, заменяющая региональный и заключительный этапы Всероссийской олимпиады школьников по математике для 8-х классов.
• Золотая медаль имени Леонарда Эйлера — награда, присуждаемая Академией наук СССР (впоследствии — Российской академии наук ) за выдающиеся заслуги в математике и физике; с 1957 по 2022 год всего 8 награждённых.
• — ежегодная награда за достижения по комбинаторике, ежегодно присуждаемая с 1993 года канадским ( англ. Institute of Combinatorics and its Applications ).
• — награда, присуждаемая Пермским государственным университетом за заслуги в физико-математическом образовании Пермского края.
• « Проект Эйлер » — проект в Интернете, объединяющий сотни тысяч любителей математики и программирования.
• Диск Эйлера — научная игрушка, используемая для изучения динамических систем.
• Международный математический институт имени Эйлера
• — язык программирования, разработанный в 1965 году Никлаусом Виртом и , предшественник Паскаля .
• — программный пакет для численных методов .
• EulerOS и — дистрибутивы Linux , разрабатываемые корпорацией Huawei .
• — шрифт, разработанный при участии Дональда Кнута , широко используемый в документах на Τ Ε Χ , в материалах Американского математического общества (AMS); впервые был использован в книге Кнута « Конкретная математика », посвящённой Эйлеру.

Примечания