Неравенство Птолемея — неравенство на 6 расстояний между четвёркой точек на плоскости.

Названо в честь позднеэллинистического математика Клавдия Птолемея .

Формулировка

Для любых точек ${\displaystyle A,B,C,D}$ плоскости выполнено неравенство

${\displaystyle AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD,}$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle ABCD}$ — выпуклый вписанный четырёхугольник , или точки ${\displaystyle A,B,C,D}$ лежат на одной прямой.

Замечания

• Случай равенства также называется тождеством Птолемея .

О доказательствах

• Один из вариантов доказательства неравенства основан на применении инверсии относительно окружности с центром в точке ${\displaystyle A}$ ; этим неравенство Птолемея сводится к неравенству треугольника для образов точек ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ , ${\displaystyle D}$ .
• Существует способ доказательства через прямую Симсона .
• Теорема Птолемея может доказываться следующим способом (близким к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест ) — ввести точку ${\displaystyle E}$ такую, что ${\displaystyle \angle ABE=\angle DBC}$ , а потом через подобие треугольников .
• Теорема также является следствием из соотношения Бретшнайдера .

Следствия

• Теорема Помпею . Рассмотрим точку ${\displaystyle X}$ и правильный треугольник ${\displaystyle ABC}$ . Тогда из отрезков ${\displaystyle XA}$ , ${\displaystyle XB}$ и ${\displaystyle XC}$ можно составить треугольник, причём этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка ${\displaystyle X}$ лежит на описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ .

• Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

• Формула Карно

Вариации и обобщения

• Соотношение Бретшнайдера
• Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots A_{6}}$ произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника , а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem) ), то

${\displaystyle A_{1}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{3}A_{6}\leq A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{6}\cdot A_{4}A_{5}+A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+}$

${\displaystyle +A_{2}A_{3}\cdot A_{1}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+A_{2}A_{3}\cdot A_{4}A_{5}\cdot A_{1}A_{6}+A_{3}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{1}A_{6},}$

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A_{1}\dots A_{6}}$ — вписанный шестиугольник.

• Теорема Кейси ( обобщённая теорема Птолемея ): Рассмотрим окружности ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ и ${\displaystyle \delta }$ , касающиеся данной окружности в вершинах ${\displaystyle A,B,C}$ и ${\displaystyle D}$ выпуклого четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ . Пусть ${\displaystyle t_{\alpha \beta }}$ — длина общей касательной к окружностям ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); ${\displaystyle t_{\beta \gamma },t_{\gamma \delta }}$ и т. д. определяются аналогично. Тогда

${\displaystyle t_{\alpha \beta }t_{\gamma \delta }+t_{\beta \gamma }t_{\delta \alpha }=t_{\alpha \gamma }t_{\beta \delta }}$ .

• Граф Птолемея (см. рис.) ,

См. также

• Теорема Помпею
• Теорема Микеля о шести окружностях

Примечания

Литература

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М. : Просвещение , 1991. — С. 328-329. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3 .
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М. : МЦНМО , 2004. — С. 61-63. — ISBN 5-94057-170-0 .