Interested Article - Логарифмическая производная

Логарифмическая произво́дная — производная от натурального логарифма функции.

$(\ln f)'={\frac {f'}{f}}$ $(\ln f)' = \frac{f'}{f}$

Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функций, например сложно-показательных.

Применение

Производная степенно-показательной функции

Пусть $f(x)=u(x)^{g(x)}$ $f(x)=u(x)^{g(x)}$ (для краткости $f=u^{g}$ $f=u^{g}$ , где u и g - функции).

Тогда $\ln f=\ln u^{g}=g\ln u$ $\ln f=\ln u^{g}=g\ln u$ , $(\ln f)'=(g\ln u)'=g'\cdot \ln u+g\cdot {\frac {u'}{u}}$ $(\ln f)'=(g\ln u)'=g'\cdot \ln u+g\cdot {\frac {u'}{u}}$ . С другой стороны, $(\ln f)'={\frac {f'}{f}}$ $(\ln f)' = \frac{f'}{f}$ , т.е. $f'=f\cdot (\ln f)'$ $f' = f\cdot(\ln f)'$ .

Окончательно имеем $(u^{g})'=u^{g}(g'\cdot \ln u+g\cdot {\frac {u'}{u}})$ $(u^g)' = u^g(g'\cdot\ln u+g\cdot\frac{u'}{u})$

Производная произведения функций

Пусть задана функция $f(x)=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(x)$ $f(x)=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(x)$ (для краткости $f=\prod _{i=1}^{n}g_{i}$ $f=\prod _{i=1}^{n}g_{i}$ ).

Так как $f'=f\cdot (\ln f)'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(\ln \prod _{j=1}^{n}g_{j})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(\sum _{j=1}^{n}\ln g_{j})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{j=1}^{n}(\ln g_{j})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j}}}$ $f'=f\cdot (\ln f)'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(\ln \prod _{j=1}^{n}g_{j})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(\sum _{j=1}^{n}\ln g_{j})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{j=1}^{n}(\ln g_{j})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j}}}$ .

Окончательно получаем: $f'=(\prod _{i=1}^{n}g_{i})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j}}}=f\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j}}}$ $f'=(\prod _{i=1}^{n}g_{i})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j}}}=f\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j}}}$ .

Можно расписать формулу и прийти к другой форме:

Если

f=g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}

f=g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}

, то

f'=g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}\cdot \left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\ldots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)

f'=g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}\cdot \left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\ldots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)

Раскрыв скобки, получим:

f'=g_{1}'\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}+g_{1}\cdot g_{2}'\cdot \ldots \cdot g_{n}+\ldots +g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}'

f'=g_{1}'\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}+g_{1}\cdot g_{2}'\cdot \ldots \cdot g_{n}+\ldots +g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}'

В частности, если $f={\frac {u_{1}^{\alpha _{1}}\cdot u_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot u_{m}^{\alpha _{m}}}{v_{1}^{\beta _{1}}\cdot v_{2}^{\beta _{2}}\cdot \ldots \cdot v_{n}^{\beta _{n}}}}$ $f={\frac {u_{1}^{\alpha _{1}}\cdot u_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot u_{m}^{\alpha _{m}}}{v_{1}^{\beta _{1}}\cdot v_{2}^{\beta _{2}}\cdot \ldots \cdot v_{n}^{\beta _{n}}}}$ , то $f'={\frac {u_{1}^{\alpha _{1}}\cdot u_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot u_{m}^{\alpha _{m}}}{v_{1}^{\beta _{1}}\cdot v_{2}^{\beta _{2}}\cdot \ldots \cdot v_{n}^{\beta _{n}}}}\cdot \left(\alpha _{1}\cdot {\frac {u_{1}'}{u_{1}}}+\alpha _{2}\cdot {\frac {u_{2}'}{u_{2}}}+\ldots +\alpha _{m}\cdot {\frac {u_{m}'}{u_{m}}}-\beta _{1}\cdot {\frac {v_{1}'}{v_{1}}}-\beta _{2}\cdot {\frac {v_{2}'}{v_{2}}}-\ldots -\beta _{n}\cdot {\frac {v_{n}'}{v_{n}}}\right)$ $f'={\frac {u_{1}^{\alpha _{1}}\cdot u_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot u_{m}^{\alpha _{m}}}{v_{1}^{\beta _{1}}\cdot v_{2}^{\beta _{2}}\cdot \ldots \cdot v_{n}^{\beta _{n}}}}\cdot \left(\alpha _{1}\cdot {\frac {u_{1}'}{u_{1}}}+\alpha _{2}\cdot {\frac {u_{2}'}{u_{2}}}+\ldots +\alpha _{m}\cdot {\frac {u_{m}'}{u_{m}}}-\beta _{1}\cdot {\frac {v_{1}'}{v_{1}}}-\beta _{2}\cdot {\frac {v_{2}'}{v_{2}}}-\ldots -\beta _{n}\cdot {\frac {v_{n}'}{v_{n}}}\right)$