В теории групп группа кватернионов — это неабелева группа восьмого порядка , изоморфная набору из восьми кватернионов с операцией умножения. Она часто обозначается буквой Q или Q ₈ , и определяется заданием группы

${\displaystyle Q=\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\rangle ,}$

где 1 — единичный элемент, а элемент −1 коммутирует с остальными элементами группы.

Граф Кэли

Группа Q ₈ имеет тот же порядок, что и диэдрическая группа , но имеет другую структуру, что можно видеть на графах Кэли и диаграммах циклов:

Граф Кэли		Граф циклов
Q 8 Красные стрелки обозначают умножение справа на i , а зелёные — умножение справа на j .	D 4 Диэдрическая группа	Q 8	Dih 4

Диэдрическая группа D ₄ получается из таким же образом, что и Q ₈ из кватернионов.

Таблица Кэли

Таблица Кэли (таблица умножения) для Q :

Q×Q	1	−1	i	− i	j	− j	k	− k
1	1	−1	i	− i	j	− j	k	− k
−1	−1	1	− i	i	− j	j	− k	k
i	i	− i	−1	1	k	− k	− j	j
− i	− i	i	1	−1	− k	k	j	− j
j	j	− j	− k	k	−1	1	i	− i
− j	− j	j	k	− k	1	−1	− i	i
k	k	− k	j	− j	− i	i	−1	1
− k	− k	k	− j	j	i	− i	1	−1

Умножение шести мнимых единиц {± i , ± j , ± k } действует как векторное произведение единичных векторов в трёхмерном евклидовом пространстве .

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}ij&=k,&ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j.\end{alignedat}}}$

Свойства

Группа кватернионов имеет необычное свойство гамильтоновости — любая подгруппа группы Q является нормальной подгруппой , и при этом сама группа не является абелевой. Любая гамильтонова группа содержит копию группы Q .

Можно построить четырёхмерное векторное пространство с базисом {1, i , j , k } и превратить его в ассоциативную алгебру с использованием приведённой выше таблицы умножения базисных векторов и продолжив операцию умножения по дистрибутивности . Полученная алгебра будет телом кватернионов . Заметим, что это не то же самое, что и групповая алгебра Q (которая имеет размерность 8). Обратно, можно начать с кватернионов и определить группу кватернионов как мультипликативную подгруппу, состоящую из восьми элементов {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k }. Комплексное четырёхмерное векторное пространство с тем же базисом называется алгеброй бикватернионов .

Заметим, что i , j и k имеют порядок 4 в Q и любые два из них порождают всю группу. Другое задание группы Q , показывающее это:

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}$

Можно, например, взять i = x , j = y и k = xy .

Центром и коммутантом группы Q является подгруппа {±1}. Факторгруппа Q /{±1} изоморфна четверной группе Клейна V . Группа внутренних автоморфизмов группы Q изоморфна факторгруппе Q по центру, и потому также изоморфна четверной группе Клейна. Полная группа автоморфизмов группы Q изоморфна S ₄ , симметрической группе четырёх букв. группы Q является S ₄ / V , которая изоморфна S ₃ .

Матричное представление

Группа кватернионов может быть представлена как подгруппа полной линейной группы GL ₂ ( C ). Представление

${\displaystyle Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to \mathrm {GL} _{2}(\mathbf {C} )}$

определяется матрицами

${\displaystyle 1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$

Поскольку все из приведённых выше матриц имеют единичные определители, они задают представление группы Q в специальной линейной группе SL ₂ ( C ).

Существует также важное действие группы Q на восьми ненулевых элементах двумерного векторного пространства над конечным полем F ₃ . Представление

${\displaystyle Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to \mathrm {GL} (2,3)}$

определяется матрицами

${\displaystyle 1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle j\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle k\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

где {−1,0,1} — три элемента поля F ₃ . Поскольку определитель всех матриц над полем F ₃ равен единице, это является представлением группы Q в специальной линейной группе SL(2, 3). Более того, группа SL(2, 3) имеет порядок 24, а Q является нормальной подгруппой группы SL(2, 3) с индекса 3.

Группа Галуа

Как показал Ричард Дин (Richard Dean) в 1981 году, группа кватернионов может быть задана как группа Галуа Gal( T / Q ), где Q является полем рациональных чисел , а T является полем разложения многочлена

${\displaystyle x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36}$

над Q .

Доказательство использует основную теорему теории Галуа , а также две теоремы о циклических расширениях степени 4.

Обобщённая группа кватернионов

Группа называется обобщённой группой кватернионов (или дициклической группой ), если она имеет задание

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}$

для некоторого целого n ≥ 2. Эта группа обозначается как Q _{4 n} и имеет порядок 4 n . Коксетер обозначил эти дициклические группы как <2,2,n>, рассматривая их как частный случай <l,m,n>, связанной с (p,q,r) и диэдральной группой (2,2,n). Обычная кватернионная группа соответствует случаю n = 2. Обобщённая кватернионная группа изоморфна подгруппе группы GL ₂ ( C ), порождённой элементами

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&{\overline {\omega }}_{n}\end{array}}\right)}$ и ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}$

где ω _n = e ^{iπ/ n} . Она также изоморфна группе, порождённой кватернионами x = e ^{iπ/ n} и y = j.

утверждает, что группы, для которых силовские 2-подгруппы являются обобщёнными кватернионами, не могут быть простыми.

См. также

• Бинарная группа тетраэдра
• Алгебра Клиффорда
• Дициклическая группа
• Кватернион Гурвица
• Список групп малого порядка
• Шестнадцатиячейник

Примечания

Литература

• Michael Artin. Algebra. — Prentice Hall, 1991. — ISBN 978-0-13-004763-2 .
• Kenneth S. Brown. Cohomology of groups. — Springer-Verlag, 1982. — ISBN 978-0-387-90688-1 .
• Henri Cartan, Samuel Eilenberg. . — Princeton University Press, 1999. — ISBN 978-0-691-04991-5 .
• Richard A. Dean. A rational polynomial whose group is the quaternions // American Mathematical Monthly . — 1981. — С. 88:42–5 .
• D. Gorenstein. Finite Groups. — New York: Chelsea, 1980. — ISBN 978-0-8284-0301-6 .
• David L. Johnson. Topics in the theory of group presentations. — Cambridge University Press , 1980. — ISBN 978-0-521-23108-4 .
• Joseph J. Rotman. An introduction to the theory of groups. — 4. — Springer-Verlag, 1995. — ISBN 978-0-387-94285-8 .
• P.R. Girard. The quaternion group and modern physics // European Journal of Physics. — 1984. — С. 5:25–32 .
• Marshall Hall. The theory of groups. — 2. — AMS Bookstore, 1999. — ISBN 0-8218-1967-4 .
• Alexander G. Kurosh. Theory of Groups. — AMS Bookstore, 1979. — ISBN 0-8284-0107-1 .

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .