Общая алгебра (также абстрактная алгебра , высшая алгебра ) — раздел математики , изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы , кольца , поля , модули , решётки , а также отображения между такими структурами.

Примерами алгебраических структур с бинарной операцией являются полугруппы , моноиды , группы , квазигруппы , полурешётки , с двумя бинарными операциями — кольца , почтикольца , поля , решётки . Более сложными примерами алгебраических структур являются модули над кольцами , векторные пространства , алгебры над кольцами , алгебры Ли . Особо изучаются тернарные алгебры, полиадические алгебры (например, полиадические группы ), многосортные алгебры .

Для изучения структур используются общие методы и сходные понятия: для отображения между структурами вводятся понятия гомоморфизмов , изоморфизмов , автоморфизмов , для изучения внутреннего строения вводятся подсистемы ( подгруппы , подкольца , подрешётки ) и факторсистемы ( факторгруппы , факторкольца , ).

Наиболее общие для всех этих алгебраических систем свойства формализуются и изучаются специальным разделом общей алгебры — универсальной алгеброй . Теория категорий , также считающаяся разделом общей алгебры, изучает свойства алгебраических структур и соотношений между ними с использованием таких абстракций, как объекты, морфизмы, функторы, которые обобщают соответствующие понятия не только в алгебраических структурах, но и в топологии , логике , теории множеств .

Разделы общей алгебры

Различные авторы включают в состав общей алгебры (высшей алгебры) следующие разделы математики:

• Гомологическая алгебра
• Теория групп
  • Теория представлений
• Теория колец
  • Коммутативная алгебра
• Теория полей
  • Теория Галуа
• Теория категорий
• Теория решёток
• Универсальная алгебра

Идеи общей алгебры используются во многих областях математики. Особенно активно используют её методы алгебраическая геометрия , алгебраическая теория чисел и алгебраическая топология .

Примечания

Литература

• Курош А. Г. . Лекции по общей алгебре (рус.) . — 2-е изд . — М. : Физматлит , 1973.
• Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории (рус.) . — М. : Мир, 1977, 1979. — Т. 1, 2. — 688 с. + 464 с.
• Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука . — (Справочная математическая библиотека).