Interested Article - Тетрагемигексаэдр

Тетрагемигексаэдр

Тип	Однородный звёздчатый многогранник
Элементы	Граней 7, рёбер 12, вершин 6
Эйлерова характеристика	$\chi$ = 1
Граней по числу сторон	4{3}+ 3{4}
	³ / ₂ 3 \| 2 (двойное накрытие)
Группа симметрии	T _d , [3,3], *332
Обозначение	U ₀₄ , C ₃₆ , W ₆₇
Двойственный
Вершинная фигура	3.4. ³ / ₂ .4
Сокращённое название Бауэра	Thah

Тетрагемигексаэдр , или гемикубооктаэдр , — , имеющий номер U ₄ . Он имеет 6 вершин, 12 рёбер, и 7 граней — 4 треугольных и 3 квадратных. Его вершинной фигурой является скрещенный четырёхугольник . Его диаграмма Коксетера — Дынкина — (хотя эта диаграмма соответствует двойному накрытию тетрагемигексаэдра).

Это единственный с нечётным числом граней. Его равен 3/2 3 | 2 , но на самом деле этот символ соответствует двойному накрытию тетрагемигексаэдра 8 треугольниками и 6 квадратами, попарно совпадающими в пространстве. (Это можно рассматривать интуитивно как два совпадающих тетрагемигексаэдра.)

Многогранник является гемимногогранником ( ). Приставка «геми-» означает, что некоторые грани образуют группу вдвое меньшего размера, чем соответствующий правильный многогранник. В данном случае три квадратные грани образуют группу, имеющую вдвое меньше граней, чем правильный гексаэдр (шестигранник), более известный как куб, а потому и имя такое гемигексаэдр . Геми-грани ориентированы в том же направлении, что и грани правильного многогранника. Три квадратные грани тетрагемигексаэдра, как и три ориентации граней у куба, взаимно перпендикулярны .

Характеристика «вполовину меньше» также означает, что геми-грани должны проходить через центр многогранника, где они все пересекаются. Визуально, каждый квадрат делится на четыре прямоугольных треугольника , из которых с каждой стороны видны только два.

Связанные поверхности

Многогранник обладает неориентированной поверхностью. Он является уникальным, поскольку из всех однородных многогранников только он имеет эйлерову характеристику 1, а потому является , дающим представление вещественной проективной плоскости , подобной .

Связанные многогранники

Многогранник имеет те же вершины и рёбра, что и правильный октаэдр . Четыре его треугольные грани совпадают с 4 из 8 треугольных граней октаэдра, но дополнительные квадратные грани проходят через центр многогранника.

Октаэдр	Тетрагемигексаэдр

Двойственным многогранником является .

Многогранник дважды накрыт кубооктаэдром , который имеет ту же самую абстрактную вершинную фигуру (2 треугольника и два квадрата: 3.4.3.4) и удвоенное число вершин, рёбер и граней. Он имеет ту же топологию, что и абстрактный многогранник гемикубооктаэдр .

Кубооктаэдр	Тетрагемигексаэдр

Его можно построить как скрещенный треугольный куполоид , будучи редуцированной версией {3/2}-купола.

Семейство звёздчатых куполоидов
n / d	3	5	7
2			Гептаграммный куполоид
4	—		Скрещенный гептаграммный куполоид

Тетрагемигексакрон

Тетрагемигексакрон

Тип	Звёздчатый многогранник
Элементы	Граней 6, рёбер 12, вершин 7
Эйлерова характеристика	$\chi$ = 1
Группа симметрии	T _d , [3,3], *332
Обозначение	DU ₀₄
Двойственный	Тетрагемигексаэдр

Тетрагемигексакрон является двойственным для тетрагемигексаэдра и одним из девяти .

Поскольку гемимногогранники имеют грани , проходящие через центр, двойственные фигуры имеют соответствующие вершины в бесконечности. Строго говоря, в бесконечной точке вещественной проективной плоскости . В книге Магнуса Веннинджера Dual Models они представлены как пересекающиеся призмы , каждая из которых уходит в бесконечность в обоих направлениях. На практике модели призм обрезаются в некоторой точке, удобной для создателя модели. Веннинджер предложил считать эти фигуры членами нового класса звёздчатых фигур, которые назвал звёздчатые до бесконечности . Однако он также добавил, что, строго говоря, они не являются многогранниками, поскольку не удовлетворяют привычным определениям.

Считается, что топологически многогранник содержит семь вершин. Три вершины считаются лежащими в бесконечности ( вещественной проективной плоскости ) и соответствуют непосредственно трём вершинам , абстрактного многогранника. Другие четыре вершины являются углами альтернированного центрального куба ( , в нашем случае тетраэдра ).

Примечания

.
, с. 101.

Литература

David A. Richter. Two Models of the Real Projective Plane.
Magnus Wenninger. Dual Models. — Cambridge University Press , 2003. — ISBN 978-0-521-54325-5 . (Стр. 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra)