Interested Article - Призма (геометрия)

При́зма ( $n$ -угольная) ( лат. prisma от др.-греч. πρίσμα «нечто отпиленное») — многогранник , две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками ( $n$ -угольниками), лежащими в параллельных плоскостях, а остальные $n$ граней — параллелограммы , имеющие общие стороны с этими многоугольниками.

Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями .

Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма , четырёхугольник — четырёхугольная; пятиугольник — пятиугольная ( пентапризма ) и т. д.

Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).

Элементы призмы

Название	Определение	Обозначения на чертеже	Чертеж
Основания	Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных друг другу плоскостях.	$ABCDE$ , $KLMNP$	Призма
Боковые грани	Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом.	$ABLK$ , $BCML$ , $CDNM$ , $DEPN$ , $EAKP$
Боковая поверхность	Объединение боковых граней.
Полная поверхность	Объединение оснований и боковой поверхности.
Боковые рёбра	Общие стороны боковых граней.	$AK$ , $BL$ , $CM$ , $DN$ , $EP$
Высота	Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям.	$KR$
Диагональ	Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.	$BP$
Диагональная плоскость	Плоскость , проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания.	$EBP$
Диагональное сечение	Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат.	$EBLP$
Перпендикулярное (ортогональное) сечение	Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру.

Свойства призмы

Основания призмы являются равными многоугольниками.
Боковые грани призмы являются параллелограммами.
Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

V=S\cdot h

Объём призмы с правильным n -угольным основанием равен

V={\frac {n}{4}}hs^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}

(здесь s — длина стороны многоугольника).

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
Площадь боковой поверхности произвольной призмы $S=P\cdot l$ , где $P$ — периметр перпендикулярного сечения, $l$ — длина бокового ребра.
Площадь боковой поверхности прямой призмы $S=P\cdot h$ , где $P$ — периметр основания призмы, $h$ — высота призмы.
Площадь боковой поверхности прямой призмы с правильным $n$ -угольным основанием равна

A={\frac {n}{2}}s^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}+nsh.

Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида .

Виды призм

Призма, основанием которой является параллелограмм , называется параллелепипедом .

Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками .

Прямая прямоугольная призма называется также прямоугольным параллелепипедом . Символ Шлефли такой призмы — { }×{ }×{ }.

Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник . Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники .

Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником . Символ Шлефли такой призмы — t{2,p}.

Прямые призмы с правильными основаниями и одинаковыми длинами рёбер образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников (другую последовательность образуют антипризмы ).

Наклонными называются призмы, рёбра которых не перпендикулярны плоскости основания.

Усечённая призма — многогранник, который отсекается от призмы непараллельной основанию плоскостью . Усечённая призма сама призмой не является.

Диаграммы Шлегеля

Треугольная призма	4-угольная призма	5-угольная призма	6-угольная призма	7-угольная призма	8-угольная призма

Симметрия

Группой симметрии прямой $n$ -угольной призмы с правильным основанием является группа D _n

h порядка 4 n , за исключением куба, который имеет группу симметрии порядка 48, содержащую три версии D _4h в качестве подгрупп . является D _n порядка 2 n , за исключением случая куба, для которого группой вращений является группа порядка 24, имеющая три версии D ₄ в качестве подгрупп.

Группа симметрии D _n

h включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.

Обобщения

Призматические многогранники

Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. $n$ -мерный призматический многогранник конструируется из двух ( n − 1 )-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.

Элементы призматического n -мерного многогранника удваиваются из элементов ( n − 1 )-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.

Возьмём $n$ -мерный многогранник с элементами $f_{i}$ ( i -мерная грань , i = 0, …, n ). Призматический ( $n+1$ )-мерный многогранник будет иметь $2f_{i}+f_{-1}$ элементов размерности i (при $f_{-1}=0$ , $f_{n}=1$ ).

По размерностям:

Берём многоугольник с $n$ вершинами и $n$ сторонами. Получим призму с 2 $n$ вершинами, 3 $n$ рёбрами и $2+n$ гранями.
Берём многогранник с v вершинами, e рёбрами и f гранями. Получаем (4-мерную) призму с 2 v вершинами, $2e+v$ рёбрами, $2f+e$ гранями и $2+f$ ячейками.
Берём 4-мерный многогранник с v вершинами, e рёбрами, f гранями и c ячейками. Получаем (5-мерную) призму с 2 v вершинами, $2e+v$ рёбрами, $2f+e$ (2-мерными) гранями, $2c+f$ ячейками и $2+c$ гиперячейками.

Однородные призматические многогранники

Правильный $n$ -многогранник, представленный символом Шлефли { p , q , ..., t }, может образовать однородный призматический многогранник размерности ( n + 1 ), представленный прямым произведением двух символов Шлефли : { p , q , ..., t }×{}.

По размерностям:

Призма из 0-мерного многогранника — это отрезок , представленный пустым символом Шлефли {}.
Призма из 1-мерного многогранника — это прямоугольник , полученный из двух отрезков. Эта призма представляется как произведение символов Шлефли {}×{}. Если призма является квадратом , запись можно сократить: {}×{} = {4}.
- Пример: Квадрат, {}×{}, два параллельных отрезка, соединённые двумя другими отрезками, сторонами .
многоугольная призма — это 3-мерная призма, полученная из двух многоугольников (один получен параллельным переносом другого), которые связаны прямоугольниками. Из правильного многоугольника { p } можно получить однородную n -угольную призму, представленную произведением { p }×{}. Если p = 4 , призма становится кубом : {4}×{} = {4, 3}.
- Пример: Пятиугольная призма , {5}×{}, два параллельных пятиугольника связаны пятью прямоугольными сторонами .
4-мерная призма, полученная из двух многогранников (один получен параллельным переносом другого), со связывающими 3-мерными призматическими ячейками. Из правильного многогранника { p , q } можно получить однородную 4-мерную призму, представленную произведением { p , q }×{}. Если многогранник является кубом и стороны призмы тоже кубы, призма превращается в тессеракт : {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Пример: , {5, 3}×{}, два параллельных додекаэдра , соединённых 12 пятиугольными призмами ( сторонами ).
…

Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами , которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом { p }×{ q }.

Семейство правильных
	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4		8.4.4		10.4.4
Многоугольник
Мозаика

Скрученная призма и антипризма

Скрученная призма — это невыпуклый призматический многогранник, полученный из однородной q -угольной путём деления боковых граней диагональю и вращения верхнего основания, обычно на угол ${\frac {\pi }{q}}$ радиан ( ${\frac {180}{q}}$ градусов), в направлении, при котором стороны становятся вогнутыми .

Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Простейший пример с треугольными основаниями называется многогранником Шёнхардта .

Скрученная призма топологически идентична антипризме , но имеет половину симметрий : D _n , [ n ,2] ⁺ , порядка 2 n . Эту призму можно рассматривать как выпуклую антипризму, у которой удалены тетраэдры между парами треугольников.

Треугольная	Четырёхугольные		12-угольная
Многогранник Шёнхардта	Скрученная квадратная антипризма	Квадратная антипризма	Скрученная двенадцатиугольная антипризма

Связанные многогранники и мозаики

Семейство правильных
	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4		8.4.4		10.4.4
Многоугольник
Мозаика

Семейство выпуклых куполов
n	2	3	4	5	6
Название	{2} \|\| t{2}	{3} \|\| t{3}	{4} \|\| t{4}	{5} \|\| t{5}	{6} \|\| t{6}
Купол	Диагональный купол	Трёхскатный купол	Четырёхскатный купол	Пятискатный купол	Шестискатный купол (плоский)
Связанные однородные многогранники	Треугольная призма	Кубооктаэдр	Ромбокубо- октаэдр	Ромбоикосо- додекаэдр

Симметрии

Призмы топологически являются частью последовательности однородных усечённых многогранников с конфигурациями вершин (3.2n.2n) и [n,3].

Варианты симметрии * n 32 усечённых мозаик: 3.2 n .2 n
Симметрия * n 32 [n,3]	Сферическая				Евклидова	Компактная гиперболич.		Параком- пактная	Некомпактная гиперболич.
Симметрия * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Усечённые фигуры
Конфигурация	3.4.4	3.6.6	3.8.8	3.10.10					3.24i.24i	3.18i.18i	3.12i.12i
Разделённые фигуры
Конфигурация	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10			V3.16.16	V3.∞.∞

Призмы топологически являются частью последовательности скошенных многогранников с вершинными фигурами (3.4.n.4) и мозаик на гиперболической плоскости . Эти вершинно транзитивные фигуры имеют (*n32) зеркальную .

Варианты симметрии * n 42 расширенных мозаик: 3.4. n .4
Симметрия * n 32 [n,3]	Сферическая				Евклидова	Компактная гиперболическая		Паракомпактная
Симметрия * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Фигура
Конфигурация	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4

Соединение многогранников

Существует 4 однородных соединения треугольных призм:

, , , .

Соты

Существует 9 однородных сот , включающих ячейки в виде треугольных призм:

Связанные многогранники

Треугольная призма является первым многогранником в ряду . Каждый последующий однородный многогранник содержит в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. идентифицировал эту серию в 1900 как содержащую все фасеты правильных многомерных многогранников , все симплексы и ортоплексы ( правильные треугольники и квадраты для случая треугольных призм). В нотации Коксетера треугольная призма задаётся символом −1 ₂₁ .

в пространстве размерности n
Пространство	Конечное						Евклидово	Гиперболическое
	3	4					9	10
Группа Коксетера	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆		E₈	E₉ = Ẽ₈ = E₈ ⁺	E₁₀ = T ₈ = E₈ ⁺⁺
Диаграмма Коксетера
	[3 ^−1,2,1 ]	[3 ^0,2,1 ]	[3 ^1,2,1 ]	[3 ^2,2,1 ]	[3 ^3,2,1 ]	[3 ^4,2,1 ]	[3 ^5,2,1 ]	[3 ^6,2,1 ]
Порядок	12	120	192	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
Граф							-	-
Обозначение	−1 ₂₁	0 ₂₁	1 ₂₁

Четырёхмерное пространство

Треугольная призма служит ячейкой во множестве четырёхмерных , включая:

См. также

Примечания

, с. 28.
Усечённая призма // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров . — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
, с. 172.
(неопр.) . Дата обращения: 28 января 2019. 29 января 2019 года.

Литература

William F. Kern, James R. Bland. . — 1938.
Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York: Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file). — ISBN 0-8160-4875-4 .
Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7 .