Квадра́т (от лат. quadratus , четырёхугольный ) — правильный четырёхугольник , то есть плоский четырёхугольник, у которого все углы и все стороны равны. Каждый угол квадрата — прямой ${\displaystyle (90^{\circ })}$ .

Варианты определения

Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами .

• Четырёхугольник , диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны, причём точка пересечения делит их пополам.
• Четырёхугольник , являющийся одновременно прямоугольником и ромбом .
• Прямоугольник , у которого длины двух смежных сторон равны.
• Прямоугольник , у которого диагонали пересекаются под прямым углом .
• Ромб , у которого диагонали равны.
• Ромб , у которого два соседних угла равны.
• Ромб , один из углов которого — прямой (прочие углы, как легко доказать, тогда также прямые).
• Параллелограмм , у которого длины двух смежных сторон равны, а угол между ними — прямой.
• Параллелограмм , у которого диагонали равны, а угол между ними — прямой.
• Дельтоид , все углы которого прямые.

Свойства

Далее в этом разделе ${\displaystyle a}$ обозначает длину стороны квадрата, ${\displaystyle d}$ — длину диагонали , ${\displaystyle R}$ — радиус описанной окружности , ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности .

Стороны и диагонали

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны , делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали ${\displaystyle d=a{\sqrt {2}}.}$

Периметр квадрата ${\displaystyle P}$ равен:

${\displaystyle P=4a=4{\sqrt {2}}R=8r}$ .

Вписанная и описанная окружности

Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:

${\displaystyle r={\frac {a}{2}}.}$

Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a.}$

Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.

Площадь

• 
  Площадь квадрата
• 
  Соединив середины сторон квадрата, получаем квадрат вдвое меньшей площади

Площадь ${\displaystyle S}$ квадрата равна

${\displaystyle S=a^{2}=2R^{2}=4r^{2}={1 \over 2}d^{2}}$ .

Из формулы ${\displaystyle S=a^{2},}$ связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется « возведением в квадрат », а результаты такого возведения называются « квадратными числами » или просто квадратами . Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем .

Квадрат имеет два замечательных свойства .

1. Из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.
2. Из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.

Уравнение квадрата

В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке ${\displaystyle \{x_{0},y_{0}\}}$ и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде :

${\displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}|=R,}$

где ${\displaystyle R}$ — радиус описанной окружности , равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна ${\displaystyle R{\sqrt {2}},}$ его диагональ равна ${\displaystyle 2R,}$ а площадь квадрата равна ${\displaystyle 2R^{2}.}$

Уравнение квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть представлено в одной из следующих форм:

1. ${\displaystyle |x-y|+|x+y|=a}$ (легко получается применением поворота на 45° к предыдущему уравнению)
   
2. ${\displaystyle \max(x^{2},y^{2})=r^{2}}$
3. (в полярных координатах ) ${\displaystyle \quad r(\varphi )=\min \left({\frac {r}{|\cos \varphi |}},{\frac {r}{|\sin \varphi |}}\right)}$

Математические проблемы

С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения.

• Квадратура круга — древняя проблема построения циркулем и линейкой квадрата, равновеликого по площади заданному кругу . В 1882 году Фердинанд Линдеман доказал, что это невозможно.

• Квадрирование квадрата — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов, без «дырок», причём длины сторон квадратов должны отличаться друг от друга (в идеале должны быть все различны). Найден ряд решений этой задачи.
• Долгое время математики пытались доказать, что непрерывное отображение отрезка прямой в квадрат невозможно, пока Джузеппе Пеано не построил свой контрпример .
• Гипотеза Тёплица : на всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, образующие вершины квадрата. Не доказана и не опровергнута.
• Разбиение квадрата сеткой одинаковых более мелких квадратов также приводит к множеству проблем, используемых, в частности, в теории латинских и греко-латинских квадратов , магических квадратов , в игре судоку .

Симметрия

Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:

• одну ось симметрии четвёртого порядка — ось, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр;
• четыре оси симметрии второго порядка (то есть относительно них квадрат отражается сам в себя), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.

Применение

В математике

Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади , а также в определении площади произвольных плоских фигур . Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми .

Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе , равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах .

Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников .

В математической физике символ квадрата может означать « оператор Д’Аламбера » (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:

${\displaystyle \square u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}}$

Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно) .

Графы: K ₄ полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.

3- симплекс (3D)

Орнаменты и паркеты

• Мозаики, включающие квадраты
• 
  « Пифагорова мозаика »
• 
• 

Мозаики, орнаменты и паркеты , содержащие квадраты, широко распространены.

Другие применения

Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат .

Квадратный флаг Лима поделён на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани , означает, что корабль находится на карантине .

Графика

Ряд символов имеют форму квадрата.

• Символы Юникода U+25A0 — U+25CF
• U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE
• ロ ( Японский иероглиф «Ро» (катакана) )
• 口 ( Китайский иероглиф «рот» )
• 囗 ( Китайский иероглиф «ограда» )

В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции \Box или \square .

В HTML , чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:

• <span style="border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;">text</span>; результат: text .

Вариации и обобщения

Многомерное пространство

Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб .

Неевклидова геометрия

В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.

См. также

• Алгоритм «движущиеся квадраты»
• Квадрат Полибия
• Квадратная матрица
• Квадратриса
• Первая теорема Тебо
• Площадь произвольного четырёхугольника

Примечания

Литература

• Каплун А. И. Математика, Учебно-практический справочник. — Ростов н/Д. : ООО "Феникс", 2014. — 240 с. — ISBN 978-5-222-20926-3 .

Ссылки

• // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.