Тетраэдр называется правильным , если все его грани — равносторонние треугольники .

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.

Свойства правильного тетраэдра

• Каждая его вершина является вершиной трех равносторонних треугольников . А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна ${\displaystyle \pi }$ .
• В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр , притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с серединными треугольниками четырёх граней тетраэдра, а все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
  • Правильный тетраэдр с ребром ${\displaystyle x}$ состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) с ребром ${\textstyle {\frac {x}{2}}}$ и четырёх тетраэдров (по вершинам) с ребром ${\textstyle {\frac {x}{2}}}$ .
• Правильный тетраэдр можно вписать в куб , притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба, а все шесть рёбер тетраэдра будут совмещены с диагоналями граней куба.

• Объём правильного тетраэдра равен ${\textstyle V={\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}}$
• Площадь поверхности равна ${\textstyle {\sqrt {3}}a^{2}}$
• Радиус вписанной сферы равен ${\textstyle {\frac {\sqrt {6}}{12}}a}$
• Радиус описанной сферы равен ${\textstyle {\frac {\sqrt {6}}{4}}a}$
• Радиус полувписанной сферы равен ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}a}$
• Высота правильного тетраэдра равна ${\textstyle {\frac {\sqrt {6}}{3}}a}$ = радиус вписанной сферы + радиус описанной сферы = ${\textstyle {\frac {\sqrt {6}}{12}}a+{\frac {\sqrt {6}}{4}}a}$
• Угол между двумя гранями равен ${\textstyle \arccos {\frac {1}{3}}\approx 70{,}53^{\circ }}$

Интересные факты

Середины граней правильного тетраэдра также образуют правильный тетраэдр.

Соотношения:

• рёбер и высот правильных тетрадров, радиусов переписанных, описанных и писанных сфер соответственно равны ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ;
• площадей поверхности равно ${\textstyle {\frac {1}{9}}}$ ;
• объёмов равно ${\textstyle {\frac {1}{27}}}$ .

Примечания

Литература