Interested Article - Тетраэдральная симметрия

Точечная группа в трёхмерном пространстве
Группы многогранников , [n,3], (*n32)
Симметрии-инволюции C _s , (*) [ ] =	C _nv , (*nn) [n] =	D _nh , (*n22) [n,2] =
T _d , (*332) [3,3] =	O _h , (*432) [4,3] =	Икосаэдральная симметрия I _h , (*532) [5,3] =

Правильный тетраэдр является примером тела с полной тетраэдральной симметрией

Правильный тетраэдр имеет 12 вращательных (сохраняющих ориентацию) симметрий и порядка 24, включающие комбинацию отражений и вращений.

Группа всех симметрий изоморфна группе S ₄ , симметрической группе перестановок четырёх элементов, поскольку имеется ровно одна такая симметрия для каждой перестановки вершин тетраэдра. Множество сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, которая является знакопеременной подгруппой A ₄ группы S ₄ .

Детали

Хиральная и полная (или ахиральная тетраэдральная симметрия и пиритоэдральная симметрия ) являются симметриями дискретных точек (или, что то же самое, симметриями на сфере ). Они входят в кристаллографические группы симметрии кубической сигонии .

В стереографической проекции рёбра тетракисгексаэдра образуют 6 окружностей (или центральных радиальных прямых) на плоскости. Каждая из этих окружностей представляет зеркало в тетраэдральной симметрии. Пересечение этих окружностей дают точки вращения порядка 2 и 3.

Ортогональная проекция	Стереографическая проекция
Ортогональная проекция	4-кратная	3-кратная	2-кратная
Хиральная тетраэдральная симметрия, T, (332), [3,3] ⁺ = [1 ⁺ ,4,3 ⁺ ], =

Пиритоэдральная симметрия,T _h , (3*2), [4,3 ⁺ ],

Ахиральная тетраэдральная симметрия, T _d , (*332), [3,3] = [1 ⁺ 4,3], =

Хиральная тетраэдральная симметрия

Тетраэдральная группа вращений T с фундаментальной областью . Для триакистетраэдра (см. ниже) область является полной гранью	Тетраэдр можно расположить в 12 различных положениях, используя лишь вращение . Это проиллюстрировано выше в виде графа циклов , с поворотами рёбер на 180° (голубые стрелки) и поворотами вершин на 120° (красные стрелки) .	В триакистетраэдре одна полная грань является фундаментальной областью. Другие тела с той же симметрией можно получить путём изменения ориентации граней. Например, сплющивание некоторого подмножества граней, чтобы образовать одну грань, или заменой одной грани группой граней, или даже кривой поверхностью.

T , 332 , [3,3] ⁺ , или 23 порядка 12 – хиральная или вращательная тетраэдральная симметрия . Имеется три ортогональных 2-кратных осей вращения, наподобие хиральной D ₂ или 222, а также четыре дополнительных 3-кратных оси. Эта группа изоморфна A ₄ , знакопеременной группе 4 элементов. Фактически это группа чётных перестановок четырёх 3-кратных осей: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Классами сопряжённости T являются:

тождество
4 × вращение на 120° по часовой стрелке (если смотреть от вершины): (234), (143), (412), (321)
4 × вращение на 120° против часовой стрелки (то же самое)
3 × вращение на 180°

Вращения на 180° вместе с тождественным преобразованием образуют нормальную подгруппу типа Dih ₂ с факторгруппой типа Z ₃ . Тремя элементами последней являются тождественное преобразование, "вращение по часовой стрелке " и "вращение против часовой стрелки ", соответствующие перестановкам трёх ортогональных 2-кратных осей с сохранением ориентацию.

A ₄ является наименьшей группой, показывающей, что теорема, обратная теореме Лагранжа , в общем случае, не верна — если дана конечная группа G и делитель d числа | G |, не обязательно существует подгруппа группы G с порядком d — группа G = A ₄ не имеет подгруппы порядка 6.

Подгруппы хиральной тетраэдральной симметрии

Шён- флис				Г-М	Структура		Индекс
T	[3,3] ⁺	=	332	23	A ₄	12	1
D ₂	[2,2] ⁺	=	222	222	Dih ₂	4	3
C ₃	[3] ⁺		33	3	Z ₃	3	4
C ₂	[2] ⁺		22	2	Z ₂	2	6
C ₁	[ ] ⁺		11	1	Z ₁	1	12

Ахиральная тетраэдральная симметрия

Полная тетраэдральная группа T _d с фундаментальной областью

T _d , *332 , [3,3] или 4 3m порядка 24 – ахиральная или полная тетраэдральная симметрия , известная также как группа треугольника (2,3,3). Эта группа имеет те же оси вращений, что и T, но с шестью плоскостями зеркальной симметрии, проходящими через каждую пару 3-кратных осей. 2-кратные оси являются теперь осями S ₄ ( 4 ). T _d и O изоморфны как абстрактные группы – обе группы соответствуют S ₄ , симметрической группе 4 элементов. T _d является объединением T и множества, полученного комбинацией каждого элемента O \ T с центральной симметрией. См. также изометрии правильного тетраэдра .

Классами сопряжённости T _d являются:

тождество
8 × вращение на 120°
3 × вращение на 180°
6 × отражение относительно плоскости, проходящей через две оси вращения
6 × зеркальный поворот на 90°

Подгруппы ахиральной тетраэдральной симметрии

Шён- флис			Г-М	Структура		Индекс
T _d	[3,3]	*332	4 3m	S ₄	24	1
C _3v	[3]	*33	3m	Dih ₃ =S ₃	6	4
C _2v	[2]	*22	mm2	Dih ₂	4	6
C _s	[ ]	*	2 or m	Dih ₁	2	12
D _2d	[2 ⁺ ,4]	2*2	4 2m	Dih ₄	8	3
S ₄	[2 ⁺ ,4 ⁺ ]	2×	4	Z ₄	4	6
T	[3,3] ⁺	332	23	A ₄	12	2
D ₂	[2,2] ⁺	222	222	Dih ₂	4	6
C ₃	[3] ⁺	33	3	Z ₃ = A ₃	3	8
C ₂	[2] ⁺	22	2	Z ₂	2	12
C ₁	[ ] ⁺	11	1	Z ₁	1	24

Пиритоэдральная симметрия

Пиритоэдральная группа T _h с фундаментальной областью

Швы волейбольного мяча имеют пиритоэдральную симметрию

T _h , 3*2 , [4,3 ⁺ ] или m 3 порядка 24 – пиритоэдральная симметрия . Эта группа имеет те же самые оси вращения, что и T с зеркальными плоскостями через два ортогональных направления. 3-кратные оси теперь являются осями S ₆ ( 3 ), и имеется центральная симметрия. T _h изоморфна T × Z ₂ — каждый элемент T _h является либо элементом T, либо элементом, комбинированным с центральной симметрией. Кроме этих двух нормальных подгрупп, имеется ещё одна нормальная подгруппа D _2h ( прямоугольного параллелепипеда ), типа Dih ₂ × Z ₂ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂ . Она является прямым произведением нормальной подгруппы T (см. выше) с C _i . Факторгруппа та же самая, что и выше — Z ₃ . Три элемента последней — тождественное преобразование, "вращение по часовой " и "вращение против часовой ", соответствующие перестановкам трёх ортогональных 2-кратных осей с сохранением ориентации.

Это симметрия куба, у которого каждая грань разделена отрезком на два прямоугольника, причём никакие два отрезка не имеют вершин на одном ребре куба. Симметрии соответствуют чётным перестановкам диагоналей куба вместе с центральной инверсией. Симметрия пентагондодекаэдра крайне близка к описанной выше симметрии куба. Пиритоэдр можно получить из куба с разделёнными пополам гранями путём заменены прямоугольников пятиугольниками с одной осью симметрии и 4 равными сторонами, одна сторона отлична по длине (та, которая соответствует отрезку, делящему квадратную грань куба пополам). То есть грани куба выпячиваются по делящему отрезку, а сам отрезок становится меньше. Симметрия куба с разделёнными гранями является подгруппой группы полной икосаэдральной симметрии (как группа изометрии, не просто как абстрактная группа) с 4 из 10 3-кратных осей.

Классы сопряжённости T _h включают классы сопряжённости T с комбинациями двух классов из 4, а также каждый с класс с центральной симметрией:

тождество
8 × вращение на 120°
3 × вращение на 180°
центральная симметрия
8 × зеркальный поворот на 60°
3 × зеркальное отражение (относительно плоскости)

Подгруппы пиритоэдральной симметрии

Шён- флис			Г-М	Структура		Индекс
T _h	[3 ⁺ ,4]	3*2	m 3	A ₄ ×2	24	1
D _2h	[2,2]	*222	mmm	Dih ₂ ×Dih ₁	8	3
C _2v	[2]	*22	mm2	Dih ₂	4	6
C _s	[ ]	*	2 or m	Dih ₁	2	12
C _2h	[2 ⁺ ,2]	2*	2/m	Z ₂ ×Dih ₁	4	6
S ₂	[2 ⁺ ,2 ⁺ ]	×	1	2 or Z ₂	2	12
T	[3,3] ⁺	332	23	A ₄	12	2
D ₃	[2,3] ⁺	322	3	Dih ₃	6	4
D ₂	[2,2] ⁺	222	222	Dih ₄	4	6
C ₃	[3] ⁺	33	3	Z ₃	3	8
C ₂	[2] ⁺	22	2	Z ₂	2	12
C ₁	[ ] ⁺	11	1	Z ₁	1	24

Тела с хиральной тетраэдральной симметрией

Икосаэдр, раскрашенный как плосконосый тетраэдр , имеет хиральную симметрию.

Тела с полной тетраэдральной симметрией

Класс	Название	Граней	Рёбер	Вершин
Платоново тело	Тетраэдр	4	6	4
Архимедово тело	Усечённый тетраэдр	8	18	12
Каталаново тело	Триакистетраэдр	12	18	8
Почти многогранник Джонсона		16	42	28
Почти многогранник Джонсона		28	54	28
Однородный звёздчатый многогранник	Тетрагемигексаэдр	7	12	6

См. также

Примечания

Литература

P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge University Press, 1997. — С. 295. — ISBN 0-521-55432-2 .
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — New-York: A K Peters/CRC Press,, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5 .
H.S.M. Coxeter . Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. — Wiley-Interscience Publication,, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6 .
Norman Johnson. Chapter 11: Finite symmetry groups // Geometries and Transformations. — 2015.