Выпуклым многоугольником называется многоугольник , все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой , проходящей через две его соседние вершины .

Определения

Существует множество эквивалентных определений:

• многоугольник является выпуклым, если часть плоскости, им ограниченная ( плоский многоугольник ) является выпуклым множеством ;
• многоугольник будет выпуклым, если для любых двух точек внутри него соединяющий их отрезок полностью лежит в нём;
• многоугольник, для которого продолжения сторон не пересекают других его сторон;
• многоугольник без самопересечений, каждый внутренний угол которого не более 180° ;
• многоугольник, все диагонали которого полностью лежат внутри него;
• выпуклая оболочка конечного числа точек на плоскости;
• ограниченное множество , являющееся пересечением конечного числа замкнутых полуплоскостей .

Примеры

• Любой треугольник является выпуклым.

Площадь выпуклого многоугольника

• Пусть ${\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,...,n}$ последовательность координат соседних друг другу вершин ${\displaystyle n}$ -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|}$ , где ${\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}$ .

Вариации и обобщения

• Выпуклое множество
• Аналогом выпуклого многоугольника в трёхмерном евклидовом пространстве является выпуклый многогранник .

См. также

• Выпуклое тело
• Выпуклая оболочка
• Симплекс