Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной . Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения , многоугольник называется простым . Например, треугольники и квадраты — простые многоугольники, а пентаграмма — нет.

Точки перелома ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника. Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин .

Варианты определений

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым .

• Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений , любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
• Часть плоскости , ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник ; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве, произвольные отрезки непрерывных кривых вместо отрезков прямых и др.

Связанные определения

• Вершины многоугольника называются соседними , если они являются концами одной из его сторон.
• Стороны многоугольника называются смежными , если они прилегают к одной вершине.
• Общая длина всех сторон многоугольника называется его периметром .
• Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
• Углом (или внутренним углом ) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить ${\displaystyle 180^{\circ }}$ в том случае, если многоугольник невыпуклый. Число углов простого многоугольника совпадает с числом его сторон или вершин.
• Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между ${\displaystyle 180^{\circ }}$ и внутренним углом, он может принимать значения от ${\displaystyle -180^{\circ }}$ до ${\displaystyle 180^{\circ }}$ .
• Перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности правильного многоугольника на одну из сторон, называется апофемой .

Виды многоугольников и их свойства

• Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником , с четырьмя — четырёхугольником , с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с ${\displaystyle n}$ вершинами называется ${\displaystyle n}$ -угольником .

• Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника . Выпуклый многоугольник всегда простой , то есть не имеет точек самопересечения.
• Выпуклый многоугольник называется правильным , если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник , квадрат и правильный пятиугольник . Символ Шлефли правильного ${\displaystyle n}$ -угольника равен ${\displaystyle \{n\}}$ .
• Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником , например, пентаграмма и октаграмма .
• Многоугольник называется вписанным в окружность , если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется описанной , а её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Любой треугольник является вписанным в некоторую окружность.
• Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной , а её центр лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника. Любой треугольник является описанным около некоторой окружности.
• Выпуклый четырёхугольник называется внеописанным около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности. Окружность при этом называется вневписанной . Вневписанная окружность существует также и у произвольного треугольника .

Общие свойства

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника влечёт, что любая сторона многоугольника меньше суммы остальных его сторон.

Теорема о сумме углов многоугольника

Сумма внутренних углов простого плоского ${\displaystyle n}$ -угольника равна ${\displaystyle 180^{\circ }(n-2)}$ . Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна ${\displaystyle 360^{\circ }.}$

Число диагоналей

• Число диагоналей всякого ${\displaystyle n}$ -угольника равно ${\displaystyle {\tfrac {n(n-3)}{2}}}$ .

Площадь

Пусть ${\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,...,n}$ — последовательность координат соседних друг другу вершин ${\displaystyle n}$ -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса :

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|}$ , где ${\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}$ .

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона .

Площадь правильного ${\displaystyle n}$ -угольника вычисляется по одной из формул :

• половина произведения периметра ${\displaystyle n}$ -угольника на апофему :

• ${\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}}$ .

• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {360^{\circ }}{n}};}$

• ${\displaystyle S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}$

где ${\displaystyle a}$ — длина стороны многоугольника, ${\displaystyle R}$ — радиус описанной окружности, ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности.

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура ${\displaystyle F}$ называется квадрируемой , если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует пара многоугольников ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ , таких, что ${\displaystyle P\subset F\subset Q}$ и ${\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }$ , где ${\displaystyle S(P)}$ обозначает площадь ${\displaystyle P}$ .

Вариации и обобщения

• Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

Примечания

Литература

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М. : Наука, 1976. — 591 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .