Interested Article - Двадцатиугольник

Двадцатиугольник - это многоугольник с двадцатью сторонами и двадцатью углами. Сумма внутренних углов любого двадцатиугольника составляет 3240 градусов.

Правильный двадцатиугольник

Правильный двадцатиугольник имеет символ Шлефли , и может быть построен как усечённый десятиугольник , , или дважды усечённый пятиугольник , .

Каждый из внутренних углов в правильном двадцатиугольнике равен , а это значит, что каждый из внешних углов равен .

Площадь правильного двадцатиугольника с длиной стороны равна

Площадь многоугольника, выраженная через радиус его описанной окружности равна

Поскольку площадь круга равна правильный двадцатиугольник заполняет примерно своей описанной окружности.

Точка на плоскости может быть полностью окружена правильным двадцатиугольником, квадратом и правильным пятиугольником .

Построение

Так как , правильный двадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки , или при помощи разбиения сторон правильного десятиугольника , или двойного разбиения сторон правильного пятиугольника .

Построение двадцатиугольника при помощи циркуля и линейки

Золотое сечение в правильном двадцатиугольнике

Построение правильного двадцатиугольника с заданной длиной стороны
  • При построении с заданной длиной стороны, дуга окружности с центром и радиусом , разделяет сегмент в отношении, равном золотому сечению .

Симметрия

Группы симметрий правильного двадцатиугольника. Симметричные вершины окрашены в одинаковые цвета. Голубые зеркала проведены через вершины, фиолетовые — через стороны. Порядки групп вращений даны в центре.

Симметрии правильного двадцатиугольника образуют диэдральную группу . В ней можно выделить пять подгрупп диэдральных симметрий ( и ), и шесть циклических подгрупп ( и ). Все различные подгруппы симметрий правильного двадцатиугольника могут быть графически отображены диаграммой из элементов.

В данной диаграмме, предложенной Джоном Конвеем , каждая подгруппа симметрии обозначена буквой и собственным порядком . Вся группа симметрий названа , а тривиальная подгруппа, соответствующая полному отсутствию симметрии, обозначена как . Диэдрические группы симметрии делятся на те, оси симметрий которых проходят только через вершины ( — diagonal), только через рёбра ( — perpendicular) или через и то, и другое (такая подгруппа обозначена буквой ). Циклические симметрии обозначены буквой ( англ. gyration ) и своим порядком .

Группа симметрий любого неправильного двадцатиугольника образует подгруппу . Среди них наиболее симметричными являются фигуры, соответствующие симметриям ( изогональный двадцатиугольник, построенный при помощи десяти зеркал с чередованием длинных и коротких рёбер) и ( изотоксальный двадцатиугольник, в котором все стороны равны между собой, но внутренние углы при вершинах чередуются). Эти две формы друг другу и каждая из них обладает половиной симметрий правильного двадцатиугольника.

Разбиения

Двадцатиугольник, разбитый на 180 ромбов

Правильное разбиение

Изотоксальное разбиение

По Коксетеру , любой зоногон ( -угольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу) может быть разбит на параллелограммов . В частности, это так для всех правильных многоугольников с чётным числом сторон — в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для двадцатиугольника , а значит, его можно разбить на параллелограммов: квадратов и набора ромбов — по в каждом. Это разбиение основано на проекции Декеракта в виде многоугольника Петри с гранями из . Согласно данным из последовательности , количество всевозможных описанных разбиений -угольника равно , если зеркальные и повёрнутые копии разбиения считать различными.

Изображение декеракта и примеры разбиения 20-угольника на 45 ромбов

Декеракт

Связанные многоугольники

Икосаграмма звёздчатый многоугольник с двадцатью сторонами, имеющий символ Шлефли . Есть три правильных икосаграммы с символами Шлефли , и . Есть также ещё 5 звёздчатых многоугольников с тем же относительным расположением вершин: , , , , и .

n 1 2 3 4 5
Форма Выпуклый многоугольник Составной Звёздчатый многоугольник Составной
Фото




Внутренний угол
n 6 7 8 9 10
Форма Составной Звёздчатый многоугольник Составной Звёздчатый многоугольник Составной
Фото




Внутренний угол

Более глубокие усечения правильного десятиугольника и декаграммы могут привести к изогональным ( вершинно-транзитивным ) промежуточным формам икосаграмм с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер.

Правильную икосаграмму {20/9} можно рассматривать как квазиусеченный десятиугольник, t{10/9}={20/9}. Аналогично декаграмма {10/3} имеет квазиусечение t{10/7}={20/7}, и, наконец, простое усечение декаграммы дает t{10/3}={20/3}.

Икосаграммы, как усечения правильных десятиугольников и декаграмм, {10}, {10/3}.
Квазирегулярный Квазирегулярный

t{10}={20}

t{10/9}={20/9}

t{10/3}={20/3}

t{10/7}={20/7}

Многоугольники Петри

Правильный двадцатиугольник является многоугольником Петри для ряда политопов , что показано в ортогональных проекциях на :

A 19 B 10 D 11 E 8 H 4 ½2H 2 2H 2

19-симплекс


Декеракт

11-полукуб

(4 21 )

Шестисотячейник


10-10

10-10 дуопризма

Он также является многоугольником Петри для , , и .

Примечания

  1. John H. Conway, Heidi Burgiel, , (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275-278)
  2. Коксетер , Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141
  3. The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Metamorphoses of polygons , Branko Grünbaum
Источник —

Same as Двадцатиугольник