Interested Article - Метод площадей

Схема доказательства теоремы Пифагора.

Метод площадей — метод решения геометрических тождеств путём подсчёта площадей фигур разными способами.

Методом площадей также доказываются теорема Пифагора , теорема о биссектрисе , теорема Чевы и многие другие.

Пример: Доказательство Евклида теоремы Пифагора

Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности , площадь которых составляет половину площади прямоугольников и соответственно.

Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла, с квадратами над катетами.

Конструкция, используемая для доказательства, следующая: для прямоугольного треугольника с прямым углом , квадратов над катетами и и квадрата над гипотенузой строится высота и продолжающий её луч , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника — и . Доказательство нацелено на установление равенства между площадями прямоугольника и квадрата над катетом ; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.

Равенство площадей прямоугольника и устанавливается через конгруэнтность треугольников и , площадь каждого из которых равна половине площади квадратов и соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямой угла и угла при ).

Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, составленного из прямоугольников и , равна сумме площадей квадратов над катетами.

Литература

  • 9.3 в И.Ф. Шарыгин. Геометрия 7—9,. — М. : Дрофа, 1997. — 352 с.
Источник —

Same as Метод площадей