Теория струн
Теория суперструн
Теория Теория струн Теория суперструн Теория бозонных струн М-теория Гетеротическая струна Голографический принцип
Фундаментальные понятия Квантовая струна Брана Пространство Калаби — Яу D-брана Группа Ли E₈
Похожие темы Суперсимметрия Супергравитация Квантовая гравитация
Известные учёные Виттен Венециано Грин Гросс Каку Малдасена Поляков Сасскинд Шварц
См. также: Портал:Физика

Теория Янга — Миллса с четырьмя суперсимметриями (также N = 4 суперсимметричная теория Янга — Миллса ) — математическая и физическая модель , созданная для изучения частиц с помощью простой системы, подобной теории струн , с конформной симметрией. Это упрощённая , основанная на теории Янга — Миллса , которая не описывает реальный мир, но полезна, поскольку она может служить испытательным полигоном для подходов к решению проблем в более сложных теориях . Она описывает вселенную, содержащую бозонные поля и фермионные поля , связанные 4 суперсимметриями (это означает, что обмен бозонными, фермионными и скалярными полями определённым образом оставляет предсказания теории инвариантными). Это одна из самых простых (потому что она не имеет свободных параметров, кроме калибровочной группы) и одна из немногих конечных квантовых теорий поля в четырёх измерениях. Её можно считать самой симметричной теорией поля, которая не связана с гравитацией.

Лагранжиан

Лагранжиан для теории

${\displaystyle L=\operatorname {tr} \left\{-{\frac {1}{2g^{2}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {\theta _{I}}{8\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\bar {F}}^{\mu \nu }-i{\overline {\lambda }}^{a}{\overline {\sigma }}^{\mu }D_{\mu }\lambda _{a}-D_{\mu }X^{i}D^{\mu }X^{i}+gC_{i}^{ab}\lambda _{a}[X^{i},\lambda _{b}]+g{\overline {C}}_{iab}{\overline {\lambda }}^{a}[X^{i},{\overline {\lambda }}^{b}]+{\frac {g^{2}}{2}}[X^{i},X^{j}]^{2}\right\},}$

где ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{k}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{k}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{k}+f^{klm}A_{\mu }^{l}A_{\nu }^{m}}$ и индексы i , j = 1, …, 6, а также a , b = 1, …, 4. ${\displaystyle f}$ представляет структурные константы определённой калибровочной группы. ${\displaystyle C_{i}^{ab}}$ представляет структурные константы группы R-симметрии SU(4), которая вращает 4 суперсимметрии. Как следствие , эта суперсимметричная теория поля фактически является суперконформной теорией поля .

Десятимерный лагранжиан

Вышеуказанный лагранжиан можно найти, начав с более простого десятимерного лагранжиана

${\displaystyle L=\operatorname {tr} \left\{{\frac {1}{g^{2}}}F_{IJ}F^{IJ}-i{\bar {\lambda }}\Gamma ^{I}D_{I}\lambda \right\},}$

где I и J пробегают значения от 0 до 9 и ${\displaystyle \Gamma ^{I}}$ являются 32 на 32 гамма-матрицами ${\displaystyle (32=2^{10/2})}$ с последующим добавлением члена с ${\displaystyle \theta _{I}}$ который является топологическим членом .

Компоненты ${\displaystyle A_{i}}$ калибровочного поля для i от 4 до 9 становятся скалярами после устранения лишних измерений. Это также даёт интерпретацию SO(6) R-симметрии как поворотов в сверхкомпактных измерениях.

Путём компактификации на Т ⁶ все суперзаряды сохраняются, давая N = 4 в 4-мерной теории.

Интерпретация теории струн типа IIB — это мировая теория стека D3-бран .

S-дуальность

Константы связи ${\displaystyle \theta _{I}}$ и ${\displaystyle g}$ естественно спариваются в форме:

${\displaystyle \tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}.}$

Теория имеет симметрию, которая сдвигает ${\displaystyle \tau }$ по целым числам. говорит, что есть также симметрия, которая посылает : ${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {-1}{n_{G}\tau }}}$ а также переключает группу ${\displaystyle G}$ к её .

AdS/CFT-соответствие

Эта теория важна и в контексте голографического принципа . Существует двойственность между теорией струн типа IIB в пространстве AdS ₅ × S ⁵ (произведение 5-мерного пространства AdS с 5-мерной сферой ) и N = 4 суперсимметричной теорией Янга — Миллса на 4-мерной границе AdS ₅ . Однако эта конкретная реализация AdS/CFT-соответствия не является реалистичной моделью гравитации, поскольку гравитация в нашей вселенной является 4-мерной. Несмотря на это, AdS/CFT-соответствие является наиболее успешной реализацией голографического принципа, спекулятивной идеи о квантовой гравитации, первоначально предложенной Герардом 'т Хоофтом , которая расширяла работу по термодинамике чёрных дыр, и была улучшена и продвинута в контексте теории струн Леонардом Сасскиндом .

Интегрируемость

Существует доказательство того, что N = 4 суперсимметричная теория Янга — Миллса имеет интегрируемую структуру в плоском . Поскольку количество цветов (также обозначаемое N ) становится бесконечным, амплитуды масштабируются как ${\displaystyle N^{2-2g}}$ , так что выживает только вклад рода 0 (планарный граф) . Планарная теория Янга — Миллса — это теория с очень большим (бесконечным) количеством цветов.

Планарный предел — это предел, в котором амплитуды рассеяния преобладают на диаграммах Фейнмана, которым можно придать структуру планарных графов .

Beisert и соавт. дали обзорную статью, демонстрирующую, как в этой ситуации локальные операторы могут быть выражены через определённые состояния в «спиновых» цепочках, но на основе больших супералгебр Ли, а не SU(2) для обычного спина. Они поддаются техникам . Они также строят действие ассоциированного на амплитуды рассеяния .

Нима Аркани-Хамед и соавт. также исследовали эту тему. Используя теорию твисторов , они находят описание (формализм амплитуэдра ) в терминах позитивного грассманиана .

Отношение к 11-мерной М-теории

N = 4 суперсимметричная теория Янга — Миллса может быть получена из более простой 10-мерной теории, и всё же супергравитация и М-теория существуют в 11 измерениях. Связь заключается в том, что если калибровочная группа U( N ) SYM становится бесконечной как ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ , она становится эквивалентной 11-мерной теории, известной как матричная теория.

См. также

Примечания

Ссылки

• Kapustin, Anton; Witten, Edward. Electric-magnetic duality and the geometric Langlands program (англ.) // Communications in Number Theory and Physics : journal. — 2007. — Vol. 1 , no. 1 . — P. 1—236 . — doi : . — Bibcode : . — arXiv : .