Лине́йное отображе́ние — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции ${\displaystyle y=kx}$ ) с вещественных чисел на евклидовы пространства более высокой размерности, а также на произвольные векторные пространства . Является центральным понятием линейной алгебры .

Линейные отображения, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Являются частным случаем гомоморфизмов модулей . Линейные отображения из пространства в себя обычно называются линейными операторами или линейными преобразованиями .

Определение

Линейным отображением векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle K}$ в векторное пространство ${\displaystyle W}$ над тем же полем называется отображение

${\displaystyle f\colon V\to W}$ ,

удовлетворяющее условиям линейности

1. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$
2. ${\displaystyle f(\alpha x)=\alpha f(x)}$

для всех ${\displaystyle x,y\in V}$ и ${\displaystyle \alpha \in K}$ .

Если ${\displaystyle W=V}$ , то ${\displaystyle f}$ называется линейным оператором или линейным преобразованием пространства ${\displaystyle V}$ . Если выполняется только первое свойство, то отображение ${\displaystyle f}$ называется аддитивным .

Пространство линейных отображений

Если определить операции сложения и умножения на скаляр из основного поля ${\displaystyle K}$ как

• ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in V}$
• ${\displaystyle (kf)(x)=kf(x)\quad \forall x\in V,\forall k\in K}$

то множество всех линейных отображений из ${\displaystyle V}$ в ${\displaystyle W}$ представит собой векторное пространство, которое обычно обозначается как ${\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)}$ .

Ограниченные линейные операторы. Норма оператора

Если векторные пространства ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$ являются линейными топологическими пространствами , то есть на них определены топологии , относительно которых операции этих пространств непрерывны , то можно определить понятие ограниченного оператора: линейный оператор называется ограниченным, если он переводит в ограниченные (в частности, все непрерывные операторы ограничены). В частности, в нормированных пространствах множество ограничено, если норма любого его элемента ограничена, следовательно, в этом случае оператор называется ограниченным, если существует число N такое что ${\displaystyle \forall x\in V,\|Ax\|_{W}\leqslant N\|x\|_{V}}$ . Можно показать, что в случае нормированных пространств непрерывность и ограниченность операторов эквивалентны. Наименьшая из постоянных N , удовлетворяющая указанному выше условию, называется нормой оператора :

${\displaystyle \|A\|=\sup _{\|x\|\not =0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}.}$

Введение нормы операторов позволяет рассматривать пространство линейных операторов как нормированное линейное пространство (можно проверить выполнение соответствующих аксиом для введённой нормы). Если пространство ${\displaystyle W}$ — банахово , то и пространство линейных операторов тоже банахово.

Обратный оператор

Оператор ${\displaystyle A^{-1}}$ называется обратным линейному оператору ${\displaystyle A}$ , если выполняется соотношение: ${\displaystyle A^{-1}A=AA^{-1}=1}$

Оператор ${\displaystyle A^{-1}}$ , обратный линейному оператору ${\displaystyle A}$ , также является линейным оператором. Если ${\displaystyle A}$ — линейный непрерывный оператор, отображающий одно банахово пространство (или F-пространство ) в другое, то и обратный оператор тоже является линейным непрерывным оператором.

Матрица линейного отображения

Матрица линейного отображения — матрица, выражающая линейное отображение в некотором базисе . Для того, чтобы её получить, необходимо подействовать отображением на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица отображения аналогична координатам вектора. При этом действие отображения на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$ . Пусть ${\displaystyle \mathbf {x} }$ — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

${\displaystyle \mathbf {x} =x^{k}\mathbf {e} _{k}}$ ,

где ${\displaystyle x^{k}}$ — координаты вектора ${\displaystyle \mathbf {x} }$ в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам .

Пусть ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — произвольное линейное отображение. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

${\displaystyle \mathbf {Ax} =x^{k}\mathbf {Ae} _{k}}$ .

Вектора ${\displaystyle \mathbf {Ae} _{k}}$ также разложим в выбранном базисе, получим

${\displaystyle \mathbf {Ae} _{k}=a_{k}^{j}\mathbf {e} _{j}}$ ,

где ${\displaystyle a_{k}^{j}}$ — ${\displaystyle j}$ -я координата ${\displaystyle k}$ -го вектора из ${\displaystyle \mathbf {Ae} _{k}}$ .

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

${\displaystyle \mathbf {Ax} =x^{k}a_{k}^{j}\mathbf {e} _{j}=(a_{k}^{j}x^{k})\mathbf {e} _{j}}$ .

Выражение ${\displaystyle a_{k}^{j}x^{k}}$ , заключённое в скобки, есть не что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица ${\displaystyle a_{k}^{j}}$ при умножении на столбец ${\displaystyle x^{k}}$ даёт в результате координаты вектора ${\displaystyle \mathbf {Ax} }$ , возникшего от действия оператора ${\displaystyle \mathbf {A} }$ на вектор ${\displaystyle \mathbf {x} }$ , что и требовалось получить.

Комментарий: Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$ . Иными словами, порядок базисных элементов предполагается строго упорядоченным.

Пример преобразования

Рассмотрим в качестве примера матрицу размера 2×2 следующего вида

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\,}$

может быть рассмотрена как матрица преобразования единичного квадрата в параллелограмм с вершинами ${\displaystyle (0,0)}$ , ${\displaystyle (a,b)}$ , ${\displaystyle (a+c,b+d)}$ , и ${\displaystyle (c,d)}$ . Параллелограмм, показанный на рисунке справа получается путём умножения матрицы A на каждый вектор-столбец ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$ и ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$ . Эти векторы соответствуют вершинам единичного квадрата.

В следующей таблице приведены примеры матриц 2 × 2 над вещественными числами с соответствующими им линейными преобразованиями R ² . Синим цветом обозначена исходная координатная сетка, а зелёным — трансформированная. Начало координат ${\displaystyle (0,0)}$ обозначено чёрной точкой.

Горизонтальный (m=1.25)	Горизонтальное отражение	(r=3/2)	Гомотетия (3/2)	Поворот (π/6 R = 30° )
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}3/2&0\\0&2/3\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}3/2&0\\0&3/2\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\pi /6^{R})&-\sin(\pi /6^{R})\\\sin(\pi /6^{R})&\cos(\pi /6^{R})\end{bmatrix}}}$

Важные частные случаи

• Линейная форма — линейное отображение, для которого ${\displaystyle W=K}$ :
  ${\displaystyle f\colon V\to K}$
• Линейный эндоморфизм — линейное отображение, для которого ${\displaystyle V=W}$ (оператор):
  ${\displaystyle f\colon V\to V}$
• Тождественный оператор (единичный оператор)— оператор ${\displaystyle x\mapsto x}$ , отображающий каждый элемент пространства в себя; норма такого оператора равна единице (для нормированных пространств)
• Нулевое отображение — оператор, переводящий каждый элемент ${\displaystyle V}$ в нулевой элемент ${\displaystyle W}$ .
• Проектор — оператор сопоставляющий каждому ${\displaystyle x}$ его проекцию на подпространство.
• Сопряжённое отображение к отображению ${\displaystyle A\in L(V)}$ — отображение ${\displaystyle A^{*}}$ на ${\displaystyle V^{*}}$ , заданное соотношением ${\displaystyle A^{*}f(x):=f(Ax)}$ .
• Самосопряжённый оператор — оператор на гильбертовом пространстве , совпадающий со своим сопряжённым оператором. Иногда такие операторы называют гипермаксимальными эрмитовыми .
• Эрмитов (или симметрический) оператор — такой оператор ${\displaystyle A}$ , определённый на подпространстве гильбертова пространства, что ${\displaystyle (Ax,y)=(x,Ay)}$ для всех пар ${\displaystyle x,y}$ из области определения ${\displaystyle A}$ . Для всюду определённых операторов данное свойство совпадает с самосопряжённостью.
• Унитарный оператор — оператор, область определения и область значений которого — всё пространство, сохраняющий скалярное произведение ${\displaystyle (Ax,Ay)=(x,y)}$ ; в частности, унитарный оператор сохраняет норму любого вектора ${\displaystyle \|Ax\|={\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {(x,x)}}=\|x\|}$ . Оператор, обратный унитарному, совпадает с сопряжённым оператором ${\displaystyle A^{-1}=A^{*}}$ ; норма унитарного оператора равна 1; в случае вещественного поля К унитарный оператор называют ортогональным .

Связанные понятия

• Ядром линейного отображения ${\displaystyle f\colon V\to W}$ называется подмножество ${\displaystyle V}$ , которое отображается в нуль:

  ${\displaystyle {\mbox{Ker}}\,f=\{x\in V\mid f(x)=0\}}$

Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве ${\displaystyle V}$ .

• Образом линейного отображения ${\displaystyle f}$ называется следующее подмножество ${\displaystyle W}$ :

  ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,f=\{f(x)\in W\mid x\in V\}}$

Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве ${\displaystyle W}$ .

• Образом подмножества ${\displaystyle M\subset V}$ относительно линейного преобразования A называется множество ${\displaystyle AM=\{Ax:x\in M\}}$ .

• Отображение ${\displaystyle f\colon V\times U\to W}$ прямого произведения линейных пространств ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle U}$ в линейное пространство ${\displaystyle W}$ называется билинейным , если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств ${\displaystyle f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B}$ называется полилинейным , если оно линейно по всем своим аргументам.
• Оператор ${\displaystyle {\tilde {L}}}$ называется линейным неоднородным (или аффинным ), если он имеет вид

  ${\displaystyle {\tilde {L}}=L+v}$

где ${\displaystyle L}$ — линейный оператор, а ${\displaystyle v}$ — вектор.

• Пусть ${\displaystyle A:V\to V}$ . Подпространство ${\displaystyle M\subset V}$ называется инвариантным относительно линейного отображения, если ${\displaystyle \forall x\in M,Ax\in M}$ .

Критерий инвариантности. Пусть ${\displaystyle M\subset X}$ — подпространство,такое что ${\displaystyle X}$ разлагается в прямую сумму : ${\displaystyle X=M\oplus N}$ . Тогда ${\displaystyle M}$ инвариантно относительно линейного отображения ${\displaystyle A}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle P_{M}AP_{M}=AP_{M}}$ , где ${\displaystyle P_{M}}$ — проектор на подпространство ${\displaystyle M}$ .

• Фактор-операторы . Пусть ${\displaystyle A:V\to V}$ — линейный оператор и пусть ${\displaystyle M}$ — некоторое инвариантное относительно этого оператора подпространство. Образуем факторпространство ${\displaystyle V/\,{\overset {M}{\sim }}}$ по подпространству ${\displaystyle M}$ . Тогда фактор-оператором называется оператор ${\displaystyle A^{+}}$ действующий на ${\displaystyle V/\,{\overset {M}{\sim }}}$ по правилу: ${\displaystyle \forall x^{+}\in V/\,{\overset {M}{\sim }},A^{+}x^{+}=[Ax]}$ , где ${\displaystyle [Ax]}$ — класс из факторпространства, содержащий ${\displaystyle Ax}$ .
• Между двойственными пространствами задано идущее в обратную сторону двойственное отображение .

Примеры

Примеры линейных однородных операторов:

• оператор дифференцирования: ${\displaystyle L\{x(\cdot )\}=y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}}$ ;
• оператор интегрирования: ${\displaystyle y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau }$ ;
• оператор умножения на определённую функцию ${\displaystyle \varphi (t)\colon y(t)=\varphi (t)x(t)}$ ;
• оператор интегрирования с заданным «весом» ${\displaystyle \varphi (t)\colon y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau ){\varphi }(\tau )\,d\tau }$
• оператор взятия значения функции ${\displaystyle f}$ в конкретной точке ${\displaystyle x_{0}}$ : ${\displaystyle L\{f\}=f(x_{0})}$ ;
• оператор умножения вектора на матрицу: ${\displaystyle b=Ax}$ ;
• оператор поворота вектора.

Примеры линейных неоднородных операторов:

• Любое аффинное преобразование ;
• ${\displaystyle y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}+\varphi (t)}$ ;
• ${\displaystyle y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau +\varphi _{1}(t)}$ ;
• ${\displaystyle y(t)=\varphi _{1}(t)x(t)+\varphi _{2}(t)}$ ;

где ${\displaystyle \varphi (t)}$ , ${\displaystyle \varphi _{1}(t)}$ , ${\displaystyle \varphi _{2}(t)}$ — вполне определённые функции, а ${\displaystyle x(t)}$ — преобразуемая оператором функция.

Примечания

См. также

• Линейный непрерывный оператор
• Аффинное преобразование
• Вполне непрерывный оператор
• Интегральный оператор Фредгольма
• Сопряжённый оператор
• Спектр оператора
• Оператор (математика)
• Выпуклый функционал

Литература

• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М. : Наука, 1961. — 436 с.